导数培优高考题及解答.doc

导数高考题
1.已知函数，求导函数，并确定的单调区间．
解：．
令，得．
当，即时，，所以函数在和上单调递减．
当，即时，的变化情况如下表：
0当，即时，的变化情况如下表：
0所以，时，函数在和上单调递减，在上单调递增，
时，函数在和上单调递减．
时，函数在和上单调递减，在上单调递增．
点评：本组题旨在强化对函数定义域的关注，以及求导运算和分类讨论的能力与技巧。
2.已知函数其中.
当时，求函数的单调区间与极值.

以下分两种情况讨论.
（1）＞，则＜.当变化时，的变化情况如下表：
f'(x)+0—0+f(x)↗极大值↘极小值↗

（2）＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：
f'(x)+0—0+f(x)↗极大值↘极小值↗

点评：此题计算量略增，旨在帮助学生进一步提升对此类问题的认识和处理能力.

3.已知函数的图象过点，且函数的图象关于y轴对称.（Ⅰ）求的值及函数的单调区间；（Ⅱ）若，求函数在区间内的极值.
解：（Ⅰ）由函数图象过点，得，………①
由，得，则；
而图象关于轴对称，所以－，所以，
代入①得.于是.
由得或，故的单调递增区间是，；
由得，故的单调递减区间是.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，令得或.
当变化时，、的变化情况如下表：
f'(x)＋0－0＋f(x)增极大值减极小值增由此可得：当时，在内有极大值，无极小值；
当时，在内无极值；
当时，在内有极小值，无极大值；
当时，在内无极值.
综上所述，当时，有极大值，无极小值；当时，有极小值，无极大值；当或时，无极值.
点评：本题考查了对导函数零点的分类讨论，但讨论的直接对象变为了函数自变量的研究范围，故此题思路不难，旨在帮助学生加深对此类问题本质的认识，并提升其详尽分类，正确计算的水平.
4.已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是.
（I）求函数的解析式；
（II）设函数，若的极值存在，求实数的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值.
解：（I）由已知,切点为(2,0),故有,即 ……①
又，由已知得……②
联立①②，解得.所以函数的解析式为
（II）因为 令
当函数有极值时，方程有实数解.则，得.
①当时，有实数，在左右两侧均有，故无极值
②当时，有两个实数根情况如下表：
+0-0+↗极大值↘极小值↗所以在时，函数有极值；
当时，有极大值；当时，有极小值；
点评：（1）本题第一问是求曲线切线的逆向设问，解题过程进一步强化了对切点的需求.
（2）本题第二问是函数求极值的逆向设问，解题方法本质仍然是求含参数的函数的极值，难度不大.
5.已知函数，其中
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）若的最小值为1，求a的取值范围.
解:（Ⅱ）∵∴
①当时，在区间∴的单调增区间为
②当时，由
∴
（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）①知，所以.
当时，由（Ⅱ）②知，在处取得最小值
所以，不成立.
综上可知，若得最小值为1，则a的取值范围是
点评：
本题第三问是求函数最值的逆向问题，解题时根据单调性研究的分类标准，将验证参数取值范围是否成立，是计算量较小，但不容易发现的方法.
本题若用一般方法，则可将问题转化为f(x)≥1的恒成立问题，此种解法的计算量将有所加大.
6.已知a是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求a的取值范围.
解：若,,显然函数在上没有零点.
若，令,解得
①当时,恰有一个零点在上;
②当，即时，在上也恰有一个零点.
③当在上有两个零点时,则
或
解得或，综上，所求实数的取值范围是或.
点评：本题以二次函数为载体，设定在区间范围上的零点存在性问题，解答时依零点个数进行分类讨论，涉及到含参二次方程根的分布研究、零点存在性定理.是原型问题和重点题.
7.已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在=－1处取得最小值m－1(m).设函数
（1）若曲线上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为,求m的值；
（2）如何取值时,函数存在零点,并求出零点.
解：（1）设，则；
又的图像与直线平行，解得
又在取极小值，∴，解得
，解得；所以，
设，则
,解得；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（2）由，得
当时，方程有一解，函数有一零点；
当时，方程有二解，
若，，有两个零点；
若，，有两个零点；
当时，方程有一解，即,有一零点
点评：
本题第一问是涉及均值定理的最值问题，题目计算量中等，思维难度不大；
第二问涉及到的函数为二次函数，故而用含参二次方程的根系关系研究根的分布问题，是本部分的原型问题和重点问题.