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整数性函数与数论表达式

李明波
（河北荣盛集团河北廊坊065001）

引言
作者在2003年给出了所有素数的一元函数表达式（定理3.1），同时总结出一个极为浅显的数学定理（定理1.1）。后来作者发现，就是这个被称为整数性函数的工具，竟可轻而易举地解决一大批超级数论难题。因本文定理都非常浅显，故其证明均被略去。若无特殊说明，本文用英文字母表示整数、n表示正整数。

1整数性函数
定理1.1当x为整数时，；当x不为整数时，。
受谭笑风（他在东陆论坛上的近期文章因网站设备故障，已被遗失）等人的启发，作者又得以概括出了以下两个定理：
定理1.2设x＞0，当x为整数时，；当x不为整数时，。
定理1.3设x≥0，当x为整数时，；当x不为整数时，。
我们称当x为整数时，其函数值是1；当x不为整数时，其函数值是0这样的函数，为关于x的整数性函数。
上述3个定理，使用起来更为方便简洁的还得属定理1.1。

2整数性函数的应用技巧
数论定理结论的典型形式有、a=b或a=b=c。下面结合以上三种形式，给出套用整数性函数若干技巧的定理。

2.1同余式的整数转化
定理2.1当且仅当时，为整数。
2.2等式的整数转化
定理2.2若a、b均为正整数，当且仅当a=b时，为整数。
定理2.3若a、b、c均为大于1的正整数，当且仅当a=b=c时，为整数。
下面介绍整数性函数在数论表达式中的应用。

3所有素数的一元函数表达式
作者否了定当今的威尔逊定理，给出如下的纠正引理[文献1]：
引理3.1n+1是素数的充要条件是为整数。
引理3.22n+1是奇素数的充要条件是为整数。
由此结合定理1.1极易证明如下定理[文献2]：
定理3.1一元函数恰可表达所有素数。
定理3.2一元函数恰可表达所有奇素数。

4素数个数表达式
其实，这完全是整数性函数一个极为浅显的副产品。即若用π(n+1)表示不超过n+1的素数个数，则有
定理4.1。

5所有合数的一元函数表达式
作者也曾证明了如下引理[文献3]：
引理5.1n+1是合数的充要条件是为整数。
引理5.2n+4是合数的充要条件是为整数。
引理5.32n+7是奇合数的充要条件是为整数。
由此结合定理1.1极易证明如下定理：
定理5.1一元函数恰可表达所有合数。
定理5.2一元函数恰可表达所有奇合数。

6合数个数表达式
其实，这也完全是整数性函数一个极为浅显的副产品。即若用τ(n+1)表示不超过n+1的合数个数，则有
定理6.1。

7所有孪生素数的一元函数表达式
称相差2的两个素数为孪生素数。第一组孪生素数是（3，5）。
文献[4]中“证明”了这样一个命题：p和p+2是一组孪生素数的充要条件是
。
但是，由于该命题的证明基于过去的“威尔逊定理”，而威尔逊定理存在反例p=1[文献1]，故用该命题会给出（1，3）也是一组孪生素数的荒诞结果（这是一个稍有异议的问题，但古希腊时期的数学和当今数学主流都规定1是单位数，而不是素数）。其实，只要我们对它做限定p＞1便可予以纠正。
现在，我们设n＞1,并用2n-1代替p、用2n+1代替p+2，则上述命题被纠正后便可改写成：
引理7.1设n＞1,则2n-1和2n+1是一组孪生素数的充要条件是为整数。
由此极易证明如下定理：
定理7.1设n＞1,则一元函数组
，

恰可表达所有孪生素数。

8孪生素数组数表达式
这又是一个整数性函数一个极为浅显的副产品。
定理8.1设n＞1,不超过2n+1孪生素数的组数为
。

9所有费马素数的一元函数表达式
当n≥0时，称型为的素数为费马素数。第一个费马素数的3。应用引理3.1和定理1.1立可证得：
定理9.1当n≥0时，一元函数恰可表达所有费马素数。

10费马素数个数表达式
定理10.1不超过的费马素数个数为
。

11所有默森素数的一元函数表达式
称型为的素数为默森素数。第一个默森素数是3。应用引理3.1和定理1.1立可证得：
定理11.1当n＞1时，一元函数恰可表达所有默森素数。

12默森素数个数表达式
定理12.1当n＞1时，不超过的默森素数个数为
。

整数因子个数极其和的表达式
在整数性函数的理论下，我们可对整数的因子个数及其和给出全新的表达式。
用d(n)表示n的正因子个数（包括1和n），用σ(n)表示它们的和[文献5]，即，（但是，前面的两个式子其实只不过是对求d(n)和σ(n)的算法描述而已，所以它们并非是真正意义上的公式，也是如此），则有
定理13.1。
定理13.2。

所有偶完全数的一元函数表达式
所有偶完全数的形式为，其中是素数[文献5]。第一个偶完全数是6。
定理14.1当n＞1时，一元函恰可表达所有偶完全数。

偶完全数个数表达式
定理15.1当n＞1时，不超过的偶完全数的个数为
。

所有完全数的一元函