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2011年第7期福建中学数学49

也谈一道塞尔维亚奥数试题的推广

田小萍田富德
1福建漳州康桥学校(363107)2福建省大田第一中学(366100)

试题(2005年塞尔维亚奥数试题)已知X，Y，定理2已知a，a，⋯，a是正数，则有
z是正数，求证：

■_ai
+赢+一,／；77≥⋯②
文[1]给出了以上试题如下：
推广已知x，Y，z是正数，1，求证：证明记A为不等式②的左端，B=2∑ai，，
月——————一

赤++南cx+y+z)2’·611cA1
笔者阅读后，发现试题还可以进行加权推广和■—一■—一
增元推广，且保持了不等式的简洁与优美．现以定

理的形式叙述如下：++，
定理1已知，Y，Z是正数，>一1，则有AABAzB

X一
+上将
。4z7+7~+‘赢一、／2+1⋯一一①以一
-LJ
证明记为不等式①的左端，盘++n一3a2
，
ABB
B=(+1)(xy+yz+)，由均值不等式，得以下3个个
▲、”

—
r_———一■——一
n等

：T~／y+2z-an
+卡式
日3an

学+Tx(y+2z)3x，I—~jnlaj—
++≥一，
加
羔++—y(z+2x)
——，得
AABB—
+
—
+
兰±+±+三!兰±≥—
，一
ABB(∑)
将以上3个不等式相加，得+A+整理得A』_L_·
．B2
约去3，然后两边3次方，再开平方，整理得’lq音(一1f)Zai兰∑竺(+)2∑
(』<，-<n
·>一
·翌
，2—1’
又易证得xy+yz+zx1(++z)。
，，
j从而有(∑口，)=∑口+2∑aia，

(+2)Zaiaj_2n，·
(_J·
+1)[÷(+Y+z)]。。。
定理1得证．j(∑)
i=l
特别地，当=1时，定理1就是原试题．．定理2得证．
特别地，当=2时，即得如下：
推论已知X，Y，z是正数，则有
参考文献

—[1]王亚辉．一道塞尔维亚奥数试题的推广．数学通讯，2010(9下半月)
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~／y+—2z+‘赢+≥√++‘