定积分概念及性质.pdf

积分学（定积分）定积分概念和性质

1.从面积问题谈起
111．1．．．定积分的概念和性质定积分的概念和性质2.积分概念的发展历程
222．2．．．微积分基本定理微积分基本定理3.积分的简单性质
333．3．．．定积分的换元和分部定积分的换元和分部4.积分中值定理
444．4．．．定积分的应用定积分的应用
555．5．．．反常积分反常积分

古希腊人丈量土地的方法：：：牛顿和莱布尼茨时代的积分概念
b
用规则图形的面积和近似莱莱莱布莱布布布尼尼尼尼茨茨茨茨创创创创造造造造积积积积分分分分记记记记号号号号∫f(x)dx.
地表示不规则土地的面积．．．af(x)dx
dx是“是“无无穷穷小小的的区区间间””；
将不规则图形的分成若干规则图是是““无无穷穷小小的的区区间间””；；y
形形形，形，，，并忽略很少的剩余部分并忽略很少的剩余部分．．．f()dxx是是是“是“““无无无无穷穷穷穷窄窄窄窄的的的的矩矩矩矩形形形形”””.
f(x)
分得越细致，，，丈量就越准确，丈量就越准确．．．曲曲曲边边边梯边梯梯梯形形形形D的的的面的面面面积积积积等等等等于于于
yy=f(x)
古希腊产生的穷竭法：：：无穷多个无穷窄矩形面积之和．．．D
Oadxbx
缺点
由于没有建立严格的极D
限概念，，，他们的工作没有，他们的工作没有概念神秘、、、模糊不清、模糊不清；；；运算不可实现；运算不可实现．．．
产生科学积分概念．．．
优点1.直观；；；2.；2.记号体现概念．．．
Oabx

为了叙述定积分的严格概念，，，第二步:近似
需要从研究曲边梯形面积说起．．．用矩形近似地代替各个细条．．．
曲边梯形的面积其中第i个矩形的宽和高分别为
曲曲曲边边边梯边梯梯梯形形形形D由由由下由下下下列列列列直直直直线线线线和和和和曲曲曲曲线线线线围围围围成成成:∆=−==ξ=
xixixi−1(i1,L,n)hfi(i)(i1,L,)n
xaxbx==,,yfx=>()(0).xξ
直直直线直线线线轴轴轴以轴以以以及及及及曲曲曲曲线线线线i是在[xi−1,xi]任意取定的点.
如如如何如何何何求求求求D面面面积面积积积？？？yy=f(x)∆yy=f(x)
Di的的的面的面面面积积积积近近近近似似似似地地地地等等等等于于于
方法第一步:::分割:分割
f(ξ)⋅∆x.
在在在[,]ab中中中插中插插插入入入入一一一一组组组组分分分分点点点:ii
=<<<<=D的的的面的面面面积积积积近近近近似似似似等等等等于于于
ax0x1x2xnb
Ln
∆≈ξ⋅∆
将将将D分分分成分成成成若若若若干干干干细细细细条条条条Di.D∑f(i)xi.
OOx1ξx
ax1xkbxi=1aikbx

1
第三步:取极限直观上可以看出:::
分分分割分割割割的的的的小小小小区区区区间间间间越越越越多多多多，，，小，小小小区区区区间间间间长长长长度度度度越越越越小小小小，，，
使分割越来越细：：：分点越来越多：分点越来越多、、、越密、越密．．．
面积的近似值就越接近于面积的精确值...
并且各个小区间最大长度趋向于零：：：
λ=∆
∆=−→第三步:::取极限:取极限令令令max{xi}.
max{xixixi−1}0.
nλ→ξ∆
ξ⋅∆当当当0时时时，，，如如如果如果果果面面面面积积积积近近近近似似似似值值值值∑f(i)xi存存存在存在在在极极极极限限限限，，，
如如如果如果果果面面面面积积积积近近近近似似似似值值值值∑f(i)xi
i=1
yy=f(x)那么这个极限值就yy=f(x)
趋向于某个实数I，，，ξ是曲边梯形的面积...ξ
f(k)f(k)
实数I就是曲边梯形上述过程既给出了曲边
的面积．．．梯形面积的定义,,,
同时也给出了求面积的
Oξξξ一个途径...Oξξξ
a12kxkbxa12kxkbx

定义1.11.11.1设设设fx()是是是定是定定定义义义义在在在在[,]ab上上上的上的的的有有有有界界界界函函函函数数数.
=<<<<=
在在在[,]ab中中中插中插插插入入入入一一一一组组组组分分分分点点点:ax0x1x2Lxnb
=
将将将[,]ab划划划分划分分分成成成成若若若若干干干干小小小小区区区区间间间:[xk−1,xk(]k,2,1Ln)
定积分的概念
∆x=x−x−.
记记记kkk1在在在每在每每每一一一一个个个个小小小小区区区区间间间间[xk−1,xk]中中中
ξy
任任任意任意意意取取取取一一一一点点点点k.
并且构造相应的积分和y=f(x)

∑f(ξ)⋅∆xξ
kkkxk
ξξ
Oa12bx

λ=∆λ→ξ∆
令令令max{xi}.当当当0时时时，，，如如如果如果果果lim∑f(k)xk存存存在存在在在，，，
则则则称则称称称f在在在区在区区