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51定积分的概念及性质
摘要：(3)定积分是一个数,不定积分是一个函数的原函数的全体.因此,定积分和不定积分是两个完全不同的概念.4.布置作业(略)5.2微积分基本定理...
关键词：积分,微积分
类别：专题技术
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教学目的
理解定积分的概念和性质,了解定积分的几何意义
教学重点
定积分的概念
教学难点
定积分概念的理解
教学内容
1.复习
不定积分的概念.
2.讲授新课
2.1两个引例
引例1曲边梯形的面积
由连续曲线（）和及围成的平面图形称为曲边梯形（如图5-1）．
由于曲边梯形在底边上各点处的高在区间上是不断变化的，因而它的面积不能由公式
EMBEDEquation.DSMT4底×高
求得.为了计算曲边梯形的面积，我们可以先将它分割成若干个小曲边梯形，在小曲边梯形中的变化很小，可以用相应的小矩形近似代替，用所有小矩形的面积之和近似代替整个曲边梯形的面积.显然，分割的越细，近似程度就越高，当无限细分时，所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值.
根据以上分析，我们按下面的方法求曲边梯形的面积.
设函数在区间上连续，且.
在上任取个内分点：
，将区间
分割为个小区间:图1

记每一小区间长度为，过分点作轴的垂线，将曲边梯形分割为个小曲边梯形；设表示第个小曲边梯形的面积，则曲边梯形的面积为.在每个小区间上任意取一点，以为底边，为高作小矩形，则小矩形的面积为，当很小时，有

若分点越多，就越小，上式的近似程度就越高，小矩形的面积总和也就越接近于曲边梯形的面积.即
，
此为曲边梯形面积的近似值．若用来表示所有小区间中的最大区间长度，当分点数无限增大且趋于零时，该近似值就趋近于曲边梯形的面积，即
.
我们把极限称之为曲边梯形的面积．
引例2变速直线运动的路程
设质点运动的速度函数是连续变化的且大于零，考虑从时刻到时刻所走过的路程．我们仍然采用分割的方法：
（1）用分点：将时间区间分成个小区间:，每个小区间的长度记为．
（2）近似代替：在每一时间区间内任取一时刻，则质点在该时间区间走过的路程近似为
，
（3）求和：将每个时间区间上质点所通过的路程的近似值累加起来，就得到时间区间上质点所通过的路程的近似值，即

（4）取极限：当分点无限增加时，记小区间最大的一个长度为，当时，则和式的极限就是质点从时刻到时刻的路程，即

2.2定积分的定义
以上两个例子的实际意义不同，但处理问题的思想方法是相同的，最后所得到的结果都归结为求和式的极限.数学上将这类和式的极限称作为定积分.
定义1设函数在上有定义，任取分点

将分成个小区间，记为区间长度，，并在每个小区间上任取一点，得出乘积的和式

若时，和式的极限存在，且此极限值与区间[]的分法及点的取法无关，则称这个极限值为函数在上的定积分，记为，即
.(1)
这里称为被积函数，称为被积表达式，叫积分变量，叫积分区间，称为积分下限，称为积分上限.若在上的定积分存在，则说在上可积.
根据定义，在上述例中的曲边梯形的面积用定积分可以表示为；变速直线运动的质点的路程可以表为：.
关于定积分的定义，有以下说明：
(1)定积分的值只与被积函数、积分区间有关，与积分变量的符号无关.即
.
(2)定义中要求，若、时有如下规定：
当时，，
即互换定积分的上、下限，定积分要变号.
当时，.
在怎样的条件下，在上的定积分一定存在呢？有下面的定理：
定理1如果在上连续，则在上可积.
定理2如果在上有界，且只有有限个间断点，则在上可积.
由此可知，初等函数在其定义区间内都是可积的.
2.3定积分的几何意义
在讨论曲边梯形面积时，假定，曲边梯形的图形在轴的上方，则积分值是正的，即；
若，图形在轴的下方，则积分值是负的，即；
若在上有正有负时，则积分值就表示曲线
在轴上方和轴下方的面积的代数和.
如图2所示.
例1用定积分表示图中阴影部分的面积.

图4
解(1)；(2).

图3

图5
例2利用定积分的几何意义，说明的成立．
解的几何意义是由曲线，，围成的图形的面积，如图5-5所示，求得面积为，故．
2.4定积分的性质
设、在区间上可积，则根据定义可推证定积分有以下的性质：
性质1.
性质2常数因子可直接提到积分符号前面.
.
性质3代数和的积分等于积分的代数和，即
.
这一结论可以推广到有限多个函数代数和的情况.
性质4对任意的点，有
.
这一性质称为定积分的可加性，无论还是，性质