电大离散数作业2：集合恒等式与等价关系的判定(解答).doc

离散数学作业2
集合恒等式与等价关系的判定
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一、（一）集合运算跟我练习（每题10分，共20分）
1．设集合A＝{a,b,{a,b}}，B={{a},{b},a,b}，求BA，AB和A－B，BA．
解B∩A＝{a,b,{a,b}}∩{{a},{b},a,b}={a,b}；
A∪B={a,b,{a,b}}∪{{a},{b},a,b}={a,b,{a},{b},{a,b}}；
AB={a,b,{a,b}}{{a},{b},a,b}={{a,b}}；
BA={a,b,{a},{b},{a,b}}{a,b}={{a},{b},{a,b}}．

2．设A，B，C为任意集合，试证：(AB)C=A(BC)．
证明设任意x(AB)C，那么xAB或xC，
也就是xA或xB或xC，
由此得xA或xBC，即xA∪(B∪C)．
所以，(AB)CA(BC)．
又因为对任意xA(BC)，由xA或x(B∪C)，
也就是xA或xB或xC；
得xAHYPERLINK"http://202.152.190.221/filter/tex/displaytex.php?%5Ctextstyl+%5Ccup+"\o"TeX"\t"popup"∪B或xC，即x(AB)C．
所以，A(BC)(AB)C．
故(AB)C=A(BC)．

一、（二）集合运算自我练习（每题15分，共30分）
3．设A={{a,b},1,2}，B={a,b,{1},1}，求(AB)，A×B和(A∪B)(A∩B)．
解AB={{a,b},2}
A×B={<{a,b},a>，<{a,b},b>，<{a,b},{1}>，<{a,b},1>，
<1,a>，<1,b>，<1,{1}>，<{1,1>，
<2,a>，<2,b>，<2,{1}>，<2,1>}
(A∪B)(A∩B)={{a,b},{1},a,b,1,2}{1}={{a,b},{1},a,b,2}

4．设A,B,C是三个任意集合，试证A(BC)=(AB)(AC)．
证明任意，则，且．
由知．
若，则；若，则．
于是．
所以．
任意，则．
若，则，即，从而；
若，则，即，从而．
所以．
故．

二、关系性质与等价关系的判定（每题25分，共50分）
5．设集合A={a,b,c}上的二元关系
R={a,a，b,b，b,c，c,c}，
S={a,b，b,a}，
T={a,b，a,c，b,a，b,c}，
判断R，S，T是否为A上自反的、对称的和传递的关系．并说明理由．
解⑴IA={<a,a>,<b,b>,<c,c>}R，所以R是A上自反的关系；
<a,a>S，<a,a>T，所以S和T都不是A上自反的关系。
⑵<c,b>R，但<b,c>R，所以R不是A上对称的关系；
显然，S1=S，所以S是A上对称的关系；
<a,c>T，但<c,a>T，所以T不是A上对称的关系；
⑶因为R·R={<a,a>,<b,b>,<b,c>,<c,c>}R，所以R是A上传递的关系；
因为<a,b>S，<b,a>S，但<a,a>S，所以S不是A上传递的关系；
因为<a,b>T，<b,a>T，但<a,a>T，所以T不是A上传递的关系。

6．设集合A={a,b,c,d}，R，S是A上的二元关系，且
R={<a,a>,<a,b>,<b,a>,<b,b>,<c,c>,<c,d>,<d,c>,<d,d>}
S={<a,b>,<b,a>,<a,c>,<c,a>,<b,c>,<c,b>,<a,a>,<b,b>,<c,c>}
试判断R和S是否为A上的等价关系，并说明理由．
解对于关系R：
⑴，所以R是自反的；
⑵易见，所以R是对称的；
⑶

所以，R是传递的。
故，R是A上的等价关系。
对于关系S：
因为，所以S不是自反的，从而S不是A上的等价关系。