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物理学－第七章振动和波动

第七章振动和波动
基本要求：
1.熟练掌握简谐振动的基本特征、矢量图解法、复数解法以及确定振动状态的三个特征量的物理意义；
2.掌握在同一直线上的两个简谐振动合成的一般规律，特别是对于两个同频率简谐振动合成的物理图象和所得结论应熟练掌握，了解拍现象的成因和应用；
3.掌握两个互相垂直的简谐振动合成的一般规律，特别是对于两个同频率简谐振动合成的物理图象和所得结论应熟练掌握；
4.理解阻尼振动、受迫振动和共振的一般规律；
5.在明确关于波动的几个基本概念的基础上，熟练掌握平面简谐波波函数的几种表示，并明确其物理意义；理解波的叠加原理和HYPERLINK"http://www.nuist.edu.cn/courses/wlx/chpt06/index.files/jbyq.htm"\l"#"惠更斯原理的基本内容；
6.掌握一维波动方程的推导过程及其解的一般形式；
7.掌握相干波条件以及干涉加强和干涉减弱的条件、驻波的形成和规律，初步懂得千涉现象是波独具的重要特征之一；
8.了解声波一般性质和声强的量度，理解多普勒效应成因，了解多普勒效应的应用。
基本概念：
1、振动：物体在一定的位置附近作往返运动，或者任何一个物理量在某一定位置附近作反复变化。
2、机械振动：物体位置随时间的变更的运动。
3、机械波/弹性波：依靠弹性介质质点的机械振动。
§7-1简谐振动
简谐振动是最简单、最基本的振动，任何复杂的振动都可由两个或多个简谐振动合成而得到。我们的讨论就从简谐振动开始。
一、简谐振动的基本特征
1、平衡位置 在一个光滑的水平面上，有一个一端被固定的轻弹簧，弹簧的另一端系一小球，如图7-1所示。当弹簧呈松弛状态时，小球在水平方向不受力的作用，此时小球处于点o，该点称为平衡位置。若将小球向右移至点m，弹簧被拉长，这时小球受到弹簧所产生的、方向指向点o的弹性力f的作用。将小球释放后，小球就在弹性力f的作用下左右往返振动起来，并永远振动下去。
2、运动方程 为了描述小球的这种运动，我们取小球的平衡位置o为坐标原点，取通过点o的水平线为x轴。如果小球的位移为x，它所受弹性力f可以表示为
(7-1)
式中k为所取轻弹簧的劲度系数，负号表示弹性力f的方向与位移的方向相反。如果小球的质量为m，根据HYPERLINK"http://www.wljx.sdu.edu.cn/wlwz/wangke/chpt06/section01/topic01/kcnr.htm"\l"#"牛顿第二定律，小球的运动方程可以表示为
(7-2)
将式(7-1)代入式(7-2)，得

或者改写为
(7-3)
式中(7-4)
式(7-3)是小球的运动方程。这个方程显示了小球受力的基本特征，即在运动过程中，小球所受力的大小与它的位移的大小成正比，而力的方向与位移的方向相反。具有这种性质的力称为线性回复力。
3、简谐振动 由运动方程可以解得小球在振动过程中位移x与时间t的关系。式(7-3)的解可以写为以下两种形式
(7-5)
或(7-6)
式中a和都是积分常量，在振动中它们都具有明确的物理意义，对此我们以后再作讨论。式(7-5)和式(7-6)在物理上具有同样的意义，以后我们只取式(7-5)的形式。
上面我们分析了由轻弹簧和小球所组成的振动系统作无摩擦振动的例子，这样的振动系统称为弹簧振子。弹簧振子的振动是典型的简谐振动，它表明了简谐振动的基本特征。从分析中可以看出，物体只要在形如f=-kx的线性回复力的作用下运动，其位移必定满足微分方程式(7-3)，而这个方程的解就一定是时间的余弦(或正弦)函数。简谐振动的这些基本特征在机械运动范围内是等价的，其中的任何一项都可以作为判断物体是否作简谐振动的依据。但是，由于振动的概念已经扩展到了物理学的各个领域，任何一个物理量在某定值附近作往返变化的过程，都属于振动，于是我们可对简谐振动作如下的普遍定义：任何物理量x的变化规律若满足方程式

并且是决定于系统自身的常量，则该物理量的变化过程就是简谐振动。
二、描述简谐振动的特征量
振幅、周期(或频率)和相位是描述简谐振动的三个重要物理量，若知道了某简谐振动的这三个量，该简谐振动就完全被确定了，故称描述简谐振动的特征量。
1.振幅 振动物体离开平衡位置的最大幅度称为振幅。在简谐振动

中，a就是振幅。在国际单位制中，机械振动振幅的单位是m(米)。
2.周期
振动物体完成一次振动所需要的时间,称为振动周期,常用t表示；在1秒时间内所完成振动的次数,称为振动频率,常用表示。振动物体在2秒内所完成振动的次数,称为振动角频率,就是式(7-5)中的。显然角频率、频率和周期t三者的关系为
(7-7)
在国际单位制中，周期t、频率和角频率的单位分别是s(秒