第五章5.1数列的概念与简单表示法.ppt

第五章数列§5.1数列的概念与简单表示法2.数列的分类
3.数列与函数的关系
从函数观点看,数列可以看作定义域为N＋或它的有限子集的函数,当自变量从小到大依次取值时,该函数对应的一列___________就是这个数列.4.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成__________,那么这个式子就叫作这个数列的通项公式.

思考探究
数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通项公式？课前热身
2.(2012·宿州质检)若数列{an}的前n项和
Sn＝n2－1,则a4等于()
A.7 B.8
C.9 D.17
解析：选A.
a4＝S4－S3＝(42－1)－(32－1)＝15－8＝7,
故选A.
4.下列有四种对数列的理解：
①数列可以看成一个定义在N＋(或它的有限子集{1,2,3,…,n})上的函数;
②数列的项数是有限的;
③数列若用图像表示,从图像上看都是一群孤立的点;④数列的通项公式是唯一的.
其中说法正确的所有序号是____________.
解析：由数列与函数的关系可知①③正确,
由数列的分类可知②错误,显然④错.
答案：①③

考点1利用观察法求数列的通项公式【规律小结】
(1)据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住以下几方面的特征：
①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③拆项后的特征;④各项符号特征.(2)观察、分析要有目的,观察出项与项数之间的关系、规律,利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得以解决.
(3)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式所得出的结果是不可靠的,要注意代值检验,对于正负符号变化,可用(－1)n或(－1)n＋1来调整.

变式训练
【规律小结】
(1)数列递推关系形如an＋1＝an＋f(n),其中{f(n)}的前有限项可求和.此种类型的数列求通项公式时,常常是相邻两项作差,然后对差式求和,这是求通项公式的一种重要方法.
(2)数列递推关系形如an＋1＝g(n)an,其中{g(n)}的前n项的乘积容易化简.此数列求通项公式一般采用累乘法.(3)数列递推关系形如an＋1＝c·an＋d(c、d为常数)求通项公式常用构造新数列法.

变式训练
【名师点评】因为数列可以看作是一类特殊的函数,因而数列也具备一般函数应具备的性质,主要性质如下：
(1)数列的单调性：若an＋1>an,则{an}为递增数列,若an＋1<an,则{an}为递减数列,否则为摆动数列或常数列.(2)周期性：若an＋k＝an对n∈N＋(k为常数)成立,则{an}为周期数列.对于一些数列,若通项无法求出时,可考虑其周期性.
(3)有界性：若{an}满足：|an|≥M或|an|≤M,则称{an}为有界数列,并能求出数列中的最大项或最小项.

【解】(1)n＝1时,a1＝S1＝23.
n≥2时,an＝Sn－Sn－1＝－n2＋24n＋(n－1)2
－24(n－1)
＝－2n＋25.
经验证,a1＝23符合an＝－2n＋25,
∴an＝－2n＋25(n∈N＋).
变式训练
3.(2010·高考陕西卷)对于数列{an},“an＋1
>|an|(n＝1,2,…)”是“{an}为递增数列”
的()
必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件解析：选B.由an＋1>|an|可得an＋1>an.
∴{an}是递增数列.
∴“an＋1>|an|”是“{an}为递增数列”的充分条件.
当数列{an}为递增数列时,不一定有an＋1>|an|,如：－3,－2,－1,0,1,….
∴“an＋1>|an|”是“{an}为递增数列”的不必要条件.

3.已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高,但试题难度较难把握.一般有三种常见思路
(1)算出前几项,再归纳、猜想;
(2)“an＋1＝pan＋q”这种形式通常转化为an＋1＋λ＝p(an＋λ),由待定系数法求出λ,再化为等比数列;
(3)逐项累加或累乘法.
失误防范
1.数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数,当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值,就是数列.因此,在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性,又要考虑数列方法的特殊性2.根据所给数列的前几项求其通项时,需仔
细观察分析,抓住其几方面的特征：分式中
分子、分母的各自特征;相邻项的联系特征;
拆项后的各部分特征;符号特征,应多进行对比、分析,从整体到局部多角度观察、归纳、
联想.
3.数列的图像是一系列孤立的点.

命题预测
从近两年的高考题来看,数列的函数特性、Sn与an的关系,数列的递推公式是高考的热点,各种题型都有,旨在考查学生分析问题、解决问题的能力.在考查基本知识的同时又注重