非线性方程组的数值求解.doc

第四章非线性方程组的数值求解

习题4.1
1．考虑，讨论的4种情况下的解各等于什么？
2．用图解法研究方程组的解大致等于什么？
3．先用图解法大致判断解的位置，再用消元法求解。
4．查阅数学手册，用卡丹方法分别求解。
5．解4次分圆方程。
6．证明实系数次代数方程的共轭根必定成对出现。

习题4.2
1．用Gerschgorin圆盘定理作方程和的实根的定位，求出根的隔离区间。
2．设为矩阵的谱半径，用圆盘定理直接证明．
3．若阶矩阵不可约，有一特征值在的一个圆盘的边界上，证明：的个圆盘的边界均通过。
4．用Gerschgorin圆盘定理隔离矩阵的特征值，再用实矩阵特征值的性质，改进得出的结果。
5．用二分法求函数的零点。初始有根区间长度为1，问迭代6次后有根区间的长度为多少？需要用函数表达式吗？若在初始区间上函数有符号变化，问二分法的收敛速度与要求是单根还是重根有关系吗？
6．应用二分法求方程在区间[0，1]上误差不超过的近似根，应对分多少次，并求其根。
7．对的根进行隔离，并用二分法计算所有的实根。
8．在[1，2]上用二分法解，精度要求和，对分各多少次数？
9．用二分法求在[0，4]上的根，精度要求和，对分各多少次数？
10．用二分法求的一个正根和一个负根，精度要求。
11．在求根问题上，为了讨论根对方程系数的敏感性，应采用绝对条件数还是相对条件数？为什么？
12．对题7，设一次项的系数受扰动影响变为3.01，试研究用二分法求解的结果变化情况，你有什么认识？

习题4.3
1．用不动点迭代求解非线性方程的解，在下列两种情况下，哪一个收敛更快？(1)在处函数有水平切线；(2)在处函数有垂直切线。请给出理由。
2．设，选择初始值，用迭代格式(1)；(2)求解实根，并判定迭代格式的收敛性，对收敛的格式计算10步，给出误差估计。
3．确定求方程的正根的不动点迭代格式的收敛区间，并求出满足的近似根。如果要求近似根的误差，最少应迭代几步？
4．求的近似值。
5．在[1.4，1.6]内有一根，有3种迭代格式：(1)；(2);(3)。
判断它们是否满足迭代收敛的条件，哪一个最好？取，求出方程的根，要求准确到5位有效数字。
6．用不动点迭代求在区间内的零点，并用松弛法和Aitkin法加速。
7．求在[1，1.5]内的根，如果不收敛，能否用Aitkin法加速？
8．求的根。如果收敛很慢，分别用松弛法和Aitkin法加速。
9．用迭代法证明：函数满足积分方程。
10．设不动点迭代函数在不动点*处的导数值，证明此迭代产生的序列至少超线性收敛。
11．用收敛的不动点迭代法求解下列方程的根(1)；(2)，并分别用松弛法和Aitiken方法加速，比较两者的结果。（准确到小数点后第5位。）
12．将改写为，为常数，若是方程的根，且欲使收敛于,该如何选取常数c。
13．证明：Aitiken加速迭代法的收敛阶至少为2。
14．证明下列5个函数有相同的不动点，且这些不动点恰好是的零点：
；；；；。已知的零点为2，3，4，对于得每一个零点，验证用上述5个函数中的哪个不动点迭代能收敛到相应的零点.
15．已知的满足，如何利用构造一个收敛的不动点迭代函数，使其构成的不动点迭代收敛。
16．设不动点迭代…是满足定义域与Lipschitz的条件的迭代，*是其不动点，L为Lipschitz常数，为第k次迭代的误差，证明：.
17．设是函数的不动点，，且。若迭代线性收敛，证明：Steffensen迭代为二阶收敛。

习题4.4
1．用Newton法求的最大根，先用MATLAB画出函数图像，由图像得出初始值。如用不动点迭代，能否收敛？如果收敛，哪个更快？为什么？
2．分别用不动点迭代，Aitkin加速法和Newton迭代法求的正根并作比较，误差不超过。
3．用Newton法求的值，使与相切，要求计算结果不少于4位有效数字。
4．用Newton法和割线法求在区间[1，2]内的根，精确到5位有效数字。
5．是的几重零点？取，分别用Newton法和球重根的Newton法求，精确到。
6．用割线法解题5中的方程，取，精度要求相同。
7．分别对下列函数讨论Newton法的收敛性和收敛速度：(1)，(2)。
8．写出Newton法解的迭代式，讨论收敛性和收敛速度，并研究对初始值的要求。
9．写出Newton法解和，分别导出求的迭代公式，讨论它们的异同，研究收敛性及其收敛速度，并求。你有什么体会？
10．证明迭代法与求解方程的割线法等价，并研究在浮点运算时，该公式与割线法迭代式相比，有何优缺点？
11．用Newton法求解，每步迭代都要计算的导数。假设用一个常数代替导数，迭代格式为
。(1)满足什么条件的，可使迭代格式局部收敛?(2)收敛速度为多少？(3)是否存在使收敛速度