一类具有一般形式接触率的流行病模型的稳定性分析.pdf

第24卷第3期齐齐哈尔大学学报Vol.24,No.3
2008年5月JournalofQiqiharUniversityMay,2008

一类具有一般形式接触率的
流行病模型的稳定性分析

杜君花1，2，刘晓宇1

（1.哈尔滨理工大学应用科学学院，哈尔滨150080；2.齐齐哈尔大学理学院，黑龙江齐齐哈尔161006）

摘要：研究了具有一般形式的接触率的SEI模型，给出了无病平衡点和地方病平衡点存在的条件，得到了疾病流
行的阈值，证明了无病平衡点和地方病平衡点是全局渐近稳定的。
关键词：流行病；阈值；Liapunov函数；全局稳定性
中图分类号：O175.1文献标识码：A文章编号：1007-984X(2008)03-0054-04

传染病在流行期间，易感者被感染上病毒后不会立即发病，而是先成为潜伏者，潜伏期过后才进入染
病者，而且这种感染是永久的，染病者不会病愈，例如AIDS等。研究这类疾病流行规律的数学模型称为
SEI流行病模型。关于传染病模型已有许多研究结果[1]。文献[2]对具有一般形式的接触率但不考虑潜伏期的
流行病模型进行了研究。本文研究了具有一般形式的接触率的SEI模型，并且考虑了潜伏期及染病期因病
死亡率，模型建立为
⎧S′=A−βC(N)SI/N−dS
⎪E′=βC(N)SI/N−(d+α+ε)E
1（1）
⎨I′=εE−(d+α)I
⎪2
⎩⎪N(t)=S(t)+E(t)+I(t)
式中：S(t)，E(t)，I(t)，N(t)分别表示t时刻易感者，潜伏者，染病者和总人口的数量；A表示单位时

间内总人口的输入；d表示自然死亡率；α1，α2分别表示处于潜伏期和染病期的病人死亡率；ε为单位时

间内潜伏者转化为染病者的比例；β为感染者所具有的传染力；C(N)表示接触率；假设A，d，α1，α2，
ε，β均是正常数。
模型（1）的基本假设：
1）C(N)在N>0上是一个非负不减的连续函数，且C(0)=0，在N≥0上连续可微，C′(N)≥0；
2）C(N)/N在N>0上是非负不增的连续可微函数，且(C(N)/N)′≤0；
3）基于模型（1）的生态学意义，S(t)，E(t)，I(t)均为非负。
将模型（1）的3个方程相加可得出总人口数N(t)满足方程
′
N(t)=A−dN−α1E−α2I（2）
显然N′(t)≤A−dN，由比较原理可知∃T>0，当t>T时，N(t)≤A/d。因此从模型（1）出发的解将最
3
终进入或停留在D⊂R+，其中
3
D={(S,E,I)∈R+|0≤S+E+I≤A/d,S,E,I≥0}
D是模型（1）的正向最大不变集[3]。

1平衡点的存在性

为了便于讨论，记δ=d+α1+ε，ω=d+α2，D(N)=C(N)/N。由基本假设知

收稿日期：2008-01-21
作者简介：杜君花（1975-），女，黑龙江齐齐哈尔人，讲师，研究生，主要研究方向：基础数学，E-mail：[e-mail]。

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D(N)>0，D′(N)≤0（3）
由模型（1）可简化为
S′=A−βC(N)SI/N−dS
⎪⎧
⎨E′=βD(N)SI−δE（4）
⎩⎪I′=εE−ωI
βC(A/d)
令R=。
0δω
00
定理1模型（4）总有无病平衡点P(A/d,0,0)；当R0>1时，模型（4）除存在无病平衡点P外，还
存在地方病平衡点P*(S*,E*,I*)。
证明由式（2）求得模型（4）的平衡点应满足下列关系式
A[(δ−d)ω−εd]ω(A−dN)ε(A−dN)
S=，E=，I=（5）
βεD(N)(A−dN)+d[(δ−d)ω−εd](δ−d)ω−εd(δ−d)ω−εd
F(N)(A−dN)=0（6）

其中，(δ−d)ω−εd=α1d+α1α2+α2ε>0。
F(N)=−βεD(N)Ad(ω+ε)−δωd[(δ−d)ω−εd]+δωdβεC(N)（7）
由式（5），式（6）求得模型（4）的无病平衡点P0(A/d,0,0)。由式（7）得

F(0)=−βεD(0)Ad(ω+ε)−δωd[(δ−d)ω−εd]

F(A/d)=−βεD(A/d)d(ω+ε)−δωd[(δ−d)ω−εd]+δωdβεC(A/d)=[(δ−d)ω−εd]δωd(R0−1)

由模型的基本假设及式（3）可知F(N)是区间(0,A/d)的连续增函数。当R0>1时，F(0)<0，F(A/d)>0，
所以方程F(N)=0在区间(0,A/d)有唯一的解N*。再由式（5）可知模型（4）除存在无病平衡点P0外，
在区间(0,A/d)内有唯一的地方病平衡点P*(S*,E*,I*)，其中S*,E*,I*由式（5）确定，N*是式（6）中
F(N*)=0的根。
2无病平衡