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2006年第3期数学教学研究7

数学教学中如何引导学生进行解题学习的反思

韩龙淑1黄玉珍2
(1.太原师范学院数学系030012;2.广西南宁地区教育学院530000)

学习数学离不开解题,学数学的主要目的就是究竟错因何在?一些同学发现,此证明未考虑∠A
为了学会解题[1].在当前的中学数学教学实践中,常是钝角的情形,但证明过程与上述类似.通过进一步
常发现学生在解题学习中投入了大量的时间和精反思,问题的症结在于不论∠A是锐角还是钝角,过
力,但效果并不理想.究其原因多数学生为解题而解B、D点所作垂线的垂足我们只考虑了要么都在四边
题,满足解对或证出为止,至于从解题中可获得哪些形的边上,要么都在四边形的延长线上的情形.从而
启示,已经既无时间顾及也无此意识,因而缺乏对自提出问题:有无垂足一个四边形的边上,另一个在四
身解题的认知过程进行反思,难以获得已有信息之边形延长线上的情形呢?由此出发构造反例[3],并
外的更多有意义信息,降低了解题的收益率.中学数从中获得启示:问题的根源在于画图的特殊性.一般
学课程标准中要求学生通过对解决问题过程的反地,当原命题假、逆命题真时,按结论画图就要出错,
思,获得解决问题的经验,不断地经历反思与建构思因此解题时不能按结论画图,而应按条件画图.
维过程,由此彰显了对反思性学习的重视.数学解题2引导学生反思解题挫折的经历,积累解题经验
中的反思是指学习者对自身解题活动的深层次的反题目一到手,进行思路探索时并不一定总能接
向思考.不仅仅是对数学解题学习的一般性回顾或近解题目标.若难以激活和提取不同问题情境下的
重复,而是深究数学解题活动中所涉及的知识、方相应解题策略和方法,则会使思路变得模糊且进展
法、思路、策略等[2],从中达到解决一类问题.要使学令人失望.此时对解题过程中挫折的经历以及对问
生在数学解题中的反思成为一种主动自觉的活动,题情境和方法匹配上发生的困难进行反思,并及时
教师的示范和引导是非常重要的.控制和调节解题进程和思维方向,对已有信息重新
1引导学生剖析错解,引发反思意识配置,转换思维策略,对提高解题能力是非常有意义
通过引导学生分析自身解题活动中错误的成的.
因,获得一些有意义的信息.不仅反思错在哪里?更例2一个三角形的三边长为a、a、b,另一个三
要反思是什么原因导致出错?从中寻找规律、吸取角形的三边长为b、b、a(a≠b),且两三角形的最小内
教训,逐渐形成反思意识和良好的思维习惯.a
角都等于α,则α=,=.(“宇振杯”数学
例1指出下列证明中的错误并构造反例.b
竞赛模拟题
已知:在凸四边形)
分析此题一到
ABCD中,AD=BC,∠A
手根据边角关系的信
=∠C,求证:ABCD是平,
息首先联想到的是借
行四边行.,
助余弦定理建立、之
证明如图1,过ab
图1
间的关系但通过化简
B、D分别作BE⊥CD,,
a
DF⊥AB,垂足分别为E、F,连BD.由AD=BC,∠A=后的方程为一般的一
b
∠C,知Rt△ADF≌Rt△CBE,有AF=CE,DF=BE,图2
元三次方程,运算繁琐、
从而△≌△故∠∠
FBDEDB,DE=BF,FBD=EDB,思维受阻.通过反思上述解题计划,思维受阻的主要
所以AB∥CD,并且AB=CD,从而ABCD是平行四边原因在于没有有意识地控制自己的解题节奏和进
形.程,开始选择策略太快,过早地把思维禁锢于余弦定
仔细反思证明过程,每一步得出的结论都正确,理这一方向,且两图形彼此孤立、静止不动,未能形
8数学教学研究2006年第3期

成对二者关系的整体知觉.既然两三角形中有相等式.而2(x2+y2+z2)=6与2xy+2yz+2zx=6的两
的边,不妨尝试把边长为a、a、b的三角形拼补到另边分别相减得(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2=0,所以
一三角形上,使分散图形彼此接近,从而发现拼补后x=y=z,因而该方程组只有一组解.
的图形为等腰梯形.如图2,设a≥b,作AE⊥BC,则正如波利亚所说:在学生开始做题之前,先让他

a-ba+b2a-b22猜猜结果或猜猜部分结果,不仅调动了积极性,并且
BE=,CE=,所以b-()=a-
222教给他们应有的思维方式,洞察到问题的本质[5].此

a+b222a1+5外对解题过程进行反思,首先可知起实质性作用的
(),即ab=a-b.从而可得=且5α
2b2
是方程①和②,方程③未参加运算和推理,是方程①
=180°,故α=36°.
和②的推论.因此把方程③变式为其等价形式,并不
本解法体现出解题的简单、自然,妙不可言.通mnp
影响问题的,如变式为x+y+z=3,m、n、p≥3或
过反思可知:首先,理解题意、形成对问题的总体知abc
(xy)+(yz)+(zx)=3,a、b、c≥2的任