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一类潜伏期和染病期均传染的流行病模型.pdf

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· ,一、、 ⑧生物数学学报,厂一 一类潜伏期和染病期均传染的流行病模型 原三领韩丽涛马知恩 西安交通大学理学院,陕西西安 摘要本文讨论了一类含潜伏期传染的模型,确定了各类平衡点存在的条件闷 值利用线形化和李亚普诺夫一拉塞尔不变集的方法,得到了各类平街点的稳定性结论,揭示了 潜伏期传染和染病期传染对疾病发展趋势的共同影响 关键词流行病模型平衡点稳定性 中图分类号分类号文献标识码 文章编号一一一 引言 利用动力学的方法建立传染病的数学模型来研究某种传染病在某一地区是否会蔓延持续 下去而成为本地区的“地方病”,或者这种传染病终将消除具有重要的意义这有助于对流行 病将来的发展趋势进行预测,为人们去预防以及治疗这种疾病提供一些信息和措施早在 年,和【首先利用动力学的方法建立传染病的数学模型,即所谓的 模型之后,【,」,和,等都做大量的工 作但在以往的流行病建模中,对潜伏期传染的情况很少考虑,而对于一些流行病,它不仅在 染病期传染,在潜伏期也传染也就是说一个易感者一旦被感染上病毒,在未发病之前即 潜伏期就对外呈现传染性,而当这些感染者发病以后,仍然具有传染性本文即以这类疾病 作为研究对象,并研究疾病的发展情况在本文,我们假设总人口是常数,自然出生率等于自 然死亡率而不考虑因病死亡 本文的结构安排如下在第节我们给出所研究的模型在第节给出各类平衡点及其存 在的闭值第、节研究无病平衡点及地方病平衡点的稳定性 模型 疾病的传染机制如下 收稿日期一 基金项歇自然科学基金资助项目 · 作者简介原三领一,男,河南焦作人西安交通大学理学院博士生 第期原三领等一类潜伏期和染病期均传染的流行病模型 止退一‘卫一旦一 告告告 甘卜卜 图疾病的传染机制 这里,万分别表示易感者,潜伏者,染病者及具有暂时免疫的移出类且 ,,分别表示一个潜伏者,染病者所具有的传染力 潜伏者成为染病者的比例 。染病者成为移出类的恢复率 尸全是自然出生率自然死亡率,并假设所有的新生儿均为易感者并假设口尽,,,占 尸是正常数 考虑下面的模型 山 一︸一口万一弓十尸一尸十占 二万十口一万 一十尸 一占尸 艺亡才 注当即百时,即可得到相应的模型 当即、斗二时,即可得到相应的模型 平衡点 系统总有一个相应于疾病消除的无病平衡点由知,系统的任何平衡点均 须满足 二拜,产 乙,八 —‘己—尸 这里,所有的参数均为正的,这样,非零平衡点的均为正的,且,而非零平衡点 相应于疾病的持续生存又因任何平衡点须满足 ‘ 了乡月二尸二万 几十方、、声 〔粤一万一了一卿尸十百 、 几,、’刀, 一下】尸刘 粤月—三 生物数学学报第卷 厂。十召。、,、户产 口十口,一忿丁笋 一 丫‘一月己 一—尸拼一 一 一口粤口 这里 占尸口,剐 二二丁一尸守一戈,厂尸下 占尸户户‘气户 的正根三,显然,当二时,系统存在 唯一的正平衡点当二三时,系统不存在正平衡 点,即只有唯一无病平衡点如图告 注二即为我们所关心的阐值 疾病消除平衡点的稳定性 现在我们来证明各类平衡点的稳定性图系统的平衡点 因为十,所以模型就归结为下列的三维模型 尸口灸习一一一一产幼 ’一川 刀二汀一占十尸 在零点,的矩阵为 ‘ 声、、尽一拜口 一尸 一 一占产 其中一个特征根为一百川另两个特征根为下列方程的根 卜,拼久一口一拜拜一尽 若。,则 尽拜口尸户 且 一口一“户一热 且 一口“尸 所有的三个特征根均具有负实部故当。时无病平衡点是局部渐近稳定的,进一步我们可 证明当。时零平衡点是全局渐近稳定的 考虑李亚普诺夫函数 十兰里 第期原三领等一类潜伏期和染病期均传染的流行病模型 因为 尸。产二 厂二乡厂二几月一一一川一二二 几十‘一万一‘一尸尸 字小二二 十。。乡一 “宁— 川川⋯ 兰全卫上旦小一万一一一一— 业 当二三时,三。等号—成立的条件为二。 集合和并不是不变集,且当笋。时,刀当时,尸, 且尸一“川,所以一故使得的最大正向不变集为,,由 李亚普诺夫拉塞尔不变集定理,零平衡点是全局渐近稳定的,即川全全,全 · 。厂十三中的任一解均趋于零 非零平衡点的稳定性 利用,非零平衡点的矩阵为 一一。 、一。。。万 百祖了、、生研约。王一夸 一尸 一 一占户 这里 ,,,。。 尸户厂户 占”万又又‘一万少一”月“一沪下一十少’ 根据,一准则,的所有特征根均具负实部的充要条件为 三。三三五丁一 因为 · ,一去一。、、一。十一。一‘。 尸尸 一乙一十占十、 ,守十口 · 夕兴宋镶一卜研夕一‘十’ 亏不斋不⋯卜占·‘二‘一,。 一生一。二、一、十,,、一。、、。王一。, 」 口 十。二一· 与,州一占夕尸百尸一占一占尸占夕一 『 生物数学学报第卷 产