西北师范大学数学与应用数学专业课程教学大纲.doc

西北师范大学数学与应用数学专业课程教学大纲

高等代数

一、说明
（一）课程性质
高等代数是高等师范院校数学与应用数学专业的一门重要核心课程，也是理科各学科的一门重要基础课。它是中学代数的继续和提高，它的思想和方法已经渗透到数学的各个领域。高等代数的全部内容分两大部分，多项式理论和线性代数理论。其中线性代数理论显得十分重要，不仅在自然科学的各分支有着重要应用，而且在社会科学领域中也有着广泛的应用。目前在师范院校，除了文学专业和外语专业外，其它所有专业都开设了线性代数课程，值得一提的是，在体育专业和政治专业也开设了线性代数课程，而且大家一致认为十分必要。
（二）教学目的
通过高等代数的学习，使学生掌握其基本理论和方法，主要是从特殊到一般，从具体到抽象的思想方法，这和中学代数思想方法有着很大的不同。掌握了高等代数的基本知识和思想方法，必然会提高学生分析问题和解决问题的能力，对数学专业后继课程的学习至关重要，教师必须清楚地认识到这一点，教学目的不能偏离这个方向。
（三）教学内容
高等代数课程的主要内容有：多项式理论、行列式、矩阵、线性方程组、向量空间、线性变换、欧氏空间。
（四）教学时数
高等代数（I）：90学时高等代数（II）：90学时。
（五）教学方式
课堂讲授
二、本文
高等代数Ⅰ

行列式

教学要点：
有关行列式的一些基本概念：线性方程组与行列式的关系、排列、n阶行列式、子式和代数余子式、克拉默规则。
教学时数：
16学时。
教学内容：
第一节二阶与三阶行列式（2学时）
介绍2×2线性方程组与二阶行列式的关系，3×3线性方程组与三阶行列式的关系，由此提出一个问题，n×n线性方程组与n阶行列式是什么关系。
第二节排列（2学时）
介绍排列概念及基本性质，其中包括偶排列、奇排列、反序数，讲授一个主要结论，n!个排列中奇排列、偶排列各占一半。
第三节n阶行列式（4学时）
介绍n阶行列式的定义，性质。指出按定义计算一个n阶行列式是很困难的，要计算出一个n阶行列式必须掌握它的性质，共有7个性质，这7个性质对计算一个n阶行列式是非常重要的。
第四节行列式按行(列)展开（2学时）
介绍子式和代数余子式的定义，使学生掌握另一种计算n阶行列式的方法，即按行按列展开的计算方法，举出一些利用性质和代数余子式计算n阶行列式的有效方法。
第五节克拉默规则（2学时）
介绍克拉默规则，它是本章的基本结论，前面的几节内容都是为得到这一结果服务的，所以克拉默规则十分重要，它是解n×n线性方程组的一个有力工具。
行列式的一些应用(选学)
习题课4学时
考核要求：
理解并熟记行列式、排列、子式、代数余子式、n阶行列式的性质、克拉默规则这些概念及结论。

第二章矩阵
教学要点：
矩阵的运算、矩阵的行列式、矩阵的逆矩阵、矩阵的分块理论。
教学时数：
24学时。
教学内容：
矩阵的定义（2学时）
主要介绍矩阵概念的产生背景.
矩阵对策(选学)
主要介绍矩阵理论在实际问题中的应用.
矩阵的加法与数乘（2学时）
主要介绍矩阵的加法、数与矩阵的乘法.给出两种运算产生的背景.
第四节矩阵的乘积（4学时）
主要介绍矩阵乘法运算产生的背景.
第五节矩阵在决策理论中的应用(选学)
本节通过大量的实际例子说明矩阵理论在决策问题中有广泛的应用.
初等变换（6学时）
主要介绍矩阵初等变换思想的背景,线性方程组的同解变形、线性方程组的加减消元法与它
增广矩阵行初等变换是一致的,这为线性方程组的解提供了理论基础.
可逆逆矩阵（4学时）
主要介绍n阶矩阵的逆矩阵、n阶矩阵的行列式、矩阵乘积的行列式与各自行列式的关系、
n阶方阵可逆时逆矩阵的求法（有两种方法，伴随矩阵的方法与初等行变换的方法）。
第八节矩阵的分块（2学时）
主要介绍矩阵的分块理论，也就是把矩阵中一部分元素看作一个块（或一个元素）来处理
矩阵的有关问题。
习题课4学时
考核要求：
理解并熟记矩阵的各种运算、矩阵与行列式的区别与联系，逆矩阵的思想与逆矩阵的两种求法。
掌握矩阵的分块思想在矩阵理论中的重要性。

第三章矩阵的进一步讨论

教学要点：
介绍有关基本概念及性质。
教学时数：
26学时
教学内容：
矩阵的秩（4学时）
通过一个无解的线性方程组引入矩阵秩的概念。
特征根（4学时）
介绍矩阵的特征根与特征向量。
对称矩阵（4学时）
引入转置矩阵、对称矩阵。
矩阵的合同（6学时）
介绍合同矩阵的概念，引出矩阵的合同变换。
二次型（2学时）
介绍二次型的概念及其矩阵表示形式。
正定矩阵（2学时）
介绍正定矩阵与正定二次型。
习题课4学时

第四章多项式与矩阵
教学要点：
介绍有关基本概念及性质：一元多项式的定义及运算、多项式的整除性、多项式的最大公因式、多项式的分解、重因式、多项式的根、C上和R上的多项式、Q上的多项式及最