复变函数与积分变换1.5-初等解析函数.ppt
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§1.5初等解析函数1.指数函数2.对数函数3.幂函数4.三角函数本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复变函数情形,研究这些初等函数的性质,并说明它的解析性。一.指数函数定义:这个性质是实变指数函数所没有的。二.对数函数当k=0时,为Lnz的一单值函数,称为Lnz的主值。特别(2)对数函数的性质例4三.乘幂与幂函数(2)当b=1/n(n正整数)时,乘幂ab与a的n次根意义一致。解幂函数zb除去b为正整数外,为多值函数,当b为无理数或复数时,无穷多值。四.三角函数正弦与余弦函数的性质思考题由正弦和余弦函
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§1.5复变函数注意:在以后的讨论中,D常常是一个平面区域,称之为定义域,并且,如无特别声明,所讨论的函数均为单值函数.2.映射的概念设函数设函数w=z2=(x+iy)2=x2-y2+i2xy,有u=x2-y2,v=2xy函数w=z2对应于两个二元实变函数:u=x2-y2,v=2xy把z平面上的两族双曲线x2-y2=c1,2xy=c2分别映射成w平面上的两族平行直线u=c1,v=c2.如果函数(映射)w=f(z)与它的反函数(逆映射)z=j(w)都是单值的,则称函数(映射)w=f(z)是一一的.此时,我们
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§2.4初等函数3.2三角函数例如3.3双曲函数例题13.4对数函数性质:问题:----n值函数例3
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会计学在一些理论和实际问题中,有许多几何量与物理量,如果用复数作为变量去刻画,则在研究过程中比较方便,在18世纪,数学家J.D’Alembert与L.Euler等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义,并应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题.在本章中,首先介绍复数的有关知识,然后再引入复平面点集、复变函数以及复变函数的极限与连续等概念.1.1复数1.1.1复数域形如的数称为复数,其中x和y是任意的实数,分别称为复数z的实部与虚部,记作x=Rez,y=lmz;而i(也可记为)称为纯虚数单位.当Im
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§2.2解析函数函数在一点解析例4讨论函数f(z)=1/z的解析性.解析函数的性质:C-R方程等价于推论:解:是区域内的正交曲线族。证:例如1解析函数退化为常数的几个充分条件:(a)函数在区域内解析且导数恒为零;(b)解析函数的实部、虚部、模或辐角中有一个恒为常数;(c)解析函数的共轭在区域内解析。