第五讲 振动与波.doc

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第五讲振动与波
一、竞赛中涉及的问题
（一）简谐运动
1．任何机械运动都可用数学方法分解成一系列简谐运动，简谐运动是最基本的机械振动，简谐运动的动力学特点：物体所受回复力与位移反向，大小与位移成正比，即：F=－kx。运动学特点；位移可用时间的正弦函数或余弦函数表示。
例1．判断下列各物体的振动是否简谐运动
O
x
x0
(1)
2x
o
x
（5）
x

O
x
θ
光滑斜面
（2）
（3）
m
O
O1
M
x
A
O
x
（4）

O
B
A
Pt
Po
ω
ωt

x
O1
v
x
y
其中，（3）是质量均匀的地球通道中的小球，（4）为浮于水面上的木块，（5）为两端开口U型管中的液面A。

2．运动规律和参考圆
用初等数学方法，不能得出简谐运动物体的V、a变化规律，
采用参考圆却能有效解决此问题，任何一个简谐振动，都可看作
某一个作匀速圆周运动的参考点在某一直径上的投影的运动，这
种想象中的参考点的运动轨迹—参考圆，参考圆半径为A，即为
简谐运动物体的振幅，如图，O为振体m的平衡位置，t=0时，
x=x0，Vx=V0,相应物在A点，参考圆位置的P0点，t时刻，在Pt点（B点），由图得

m
m
C
B
x
h
o
(b)
m
m
K
C
B
(a)
x
（1）位移x=Acos(ωt+φ0),（2）速度Vx（3）加速度，其中，是初相角，回复力（4）振幅A—振体离开平衡位置的最大距离，由初始条件t=0时，代入x、vx表达式中，得，解之得A=位相，决定振体运动的状态的变量，
是t=0时的初相角N·B！上述方程的
原点均取在振体的静平衡位置。
(b)
m
m
B
C
k
m
m
k
C
B
例2：试求下图所示系统的振幅A及初位相，（a）中C与B中吊绳静止时断开，（b）中将物B无初速地放在物C上。

3．简谐运动的圆频率，频率与周期
（1）圆频率即x、vx、ax表达式中的 ，由F=－kx=
m
k1
k2
k3
(c)
（2）周期T，T=。（3）频率
A
m
k1
k2
(b)
1
k
2
(a)
例3，如图（a）
将劲度系数为k的弹
簧，按其原长1∶2截断
为两根，求由它们组成的(a),(b)两系统的周期，图C中，振动系统的周期又是多少？

例4：物体质量m，用弹簧悬吊于长为b的轻质杆上，K1、K2已知,长度a,b已知，求系统振动周期。
a
k2

k1

o
m

x
例5：求下图
(a)－(d)中系统
振动周期，(a)，(b)斜面光滑
(D)
B
60º
α
o
C
A
A
B
m
2L
L
C
o
(C)
30º
30º
L
m
o
α
(b)
L
m
α
(a)
(c)中AC、BC为两细线,m在垂直于纸面的平面内摆动，（d）中△ABC为等边△，每边杆长L，质量不计。

4．简谐运动规律的求解
解题思路：（1）判断振体作简谐振动；（2）取物体静平衡位置为坐标原点，直接写出规律，如（3）求，（4）确定初始条件，A、。5.代入运动方程求解。
例6：如图，质量均为m的两物用线绳相连，悬于K1，K2两弹簧上，
k2
k1
m
求绳断后，剩下物体的运动规律。
m

k
M
m
h
k
x

例7．如图，M=2kg，k=100N/m，光滑水平面，t=0时，x0=10cm，
v0=0，h=1cm高处有一质量m=0.4kg的小物下落，当M沿x轴负向
通过平衡位置时，小物恰落在M上且无反弹，试求此后两物体一起
运动的规律。

（二）振动能量与共振
1．简谐振动中的能量。弹簧振子动能，振子的瞬间势能，总能量，可见，简谐振动物体机械能守恒，振子通过平衡位置时，Ep=0，Ek最大，通过极端位置时，Ek=0,Ep最大，
例8：弹簧振子劲度系数为k，振动物质量为m，t=0时，x=x0，vx=v0,求A、。

2．阻尼振动，简谐振动机械能守恒，一旦开始，就永不停止，是理想状况，实际振动，因有摩擦，振动总是减弱以致最后停下，这种振幅逐渐减小的运动—阻尼振动。对于一定的振动物体，有阻尼要比无阻尼时，周期长些，阴尼越大，周期越长。
k
1cm
x
例9：如图，劲度系数为k=250g/cm的弹簧一端固定，另一端连接一质量为30g的物块，置于水平面上，摩擦因数，现将弹簧拉长1cm后由静止释放，求（1）物块获得的最大速度；（2）物块经过弹簧原长位置几次后才停止运动？

3．受迫振动，物体在周期性外力（策动力）作用下的振动叫受迫振动。受迫振动的频率等于策动力的频率，而与物体固有频率无关，当策动力频率与物体固有频率相等时，受迫振动的振幅最大，这种现象称为共振，策动力频率与物体固有频率越接近，受迫振动振幅越大。

（三）机械波
1．机械波，横波与纵波。机械振动在介质中的传播叫机械波，波传播的是