第五讲机械振动和机械波.docx

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第五讲机械振动和机械波
§5．1简谐振动
5．1．1、简谐振动的动力学特点
x
图5-1-1
如果一个物体受到的回复力与它偏离平衡位置的位移大小成正比，方向相反。即满足：的关系，那么这个物体的运动就定义为简谐振动根据牛顿第二是律，物体的加速度，因此作简谐振动的物体，其加速度也和它偏离平衡位置的位移大小成正比，方何相反。
现有一劲度系数为k的轻质弹簧，上端固定在P点，下端固定一个质量为m的物体，物体平衡时的位置记作O点。现把物体拉离O点后松手，使其上下振动，如图5-1-1所示。
当物体运动到离O点距离为x处时，有
式中为物体处于平衡位置时，弹簧伸长的长度，且有，因此
说明物体所受回复力的大小与离开平衡位置的位移x成正比。因回复力指向平衡位置O，而位移x总是背离平衡位置，所以回复力的方向与离开平衡位置的位移方向相反，竖直方向的弹簧振子也是简谐振动。
图5-1-2
注意：物体离开平衡位置的位移，并不就是弹簧伸长的长度。
5．1．2、简谐振动的方程
由于简谐振动是变加速运动，讨论起来极不方便，为此。可引入一个连续的匀速圆周运动，因为它在任一直径上的分运动为简谐振动，以平衡位置O为圆心，以振幅A为半径作圆，这圆就称为参考圆，如图5-1-2，设有一质点在参考圆上以角速度作匀速圆周运动，它在开始时与O的连线跟轴夹角为,那么在时刻t，参考圆上的质点与O的连线跟的夹角就成为，它在轴上的投影点的坐标（2）
这就是简谐振动方程，式中是t=0时的相位，称为初相：是t时刻的相位。
参考圆上的质点的线速度为，其方向与参考圆相切，这个线速度在轴上的投影是
）（3）这也就是简谐振动的速度
参考圆上的质点的加速度为，其方向指向圆心，它在轴上的投影是
）（4）这也就是简谐振动的加速度
由公式（2）、（4）可得
由牛顿第二定律简谐振动的加速度为
因此有（5）
简谐振动的周期T也就是参考圆上质点的运动周期，所以
5．1．3、简谐振动的判据
物体的受力或运动，满足下列三条件之一者，其运动即为简谐运动：
①物体运动中所受回复力应满足；
②物体的运动加速度满足；
③物体的运动方程可以表示为。
事实上，上述的三条并不是互相独立的。其中条件①是基本的，由它可以导出另外两个条件②和③。

§5.2弹簧振子和单摆
图5-2-1
简谐振动的教学中经常讨论的是弹簧振子和单摆，下面分别加以讨论。
5．2．1、弹簧振子
弹簧在弹性范围内胡克定律成立，弹簧的弹力为一个线性回复力，因此弹簧振子的运动是简谐振动，振动周期。
（1）恒力对弹簧振子的作用
比较一个在光滑水平面上振动和另一个竖直悬挂振动的弹簧振子，如果m和k都相同（如图5-2-1），则它们的振动周期T是相同的，也就是说，一个振动方向上的恒力不会改变振动的周期。
如果在电梯中竖直悬挂一个弹簧振子，弹簧原长，振子的质量为m=1.0kg，电梯静止时弹簧伸长=0.10m，从t=0时，开始电梯以g/2的加速度加速下降,然后又以g/2加速减速下降直至停止试画出弹簧的伸长随时间t变化的图线。
由于弹簧振子是相对电梯做简谐运动，而电梯是一个有加速度的非惯性系，因此要考虑弹簧振子所受到的惯性力f。在匀速运动中，惯性力是一个恒力，不会改变振子的振动周期，振动周期

图5-2-2

因为，所以
因此在电梯向下加速或减速运动的过程中，振动的次数都为

当电梯向下加速运动时，振子受到向上的惯性力mg/2，在此力和重力mg的共同作用下，振子的平衡位置在的地方，同样，当电梯向下减速运动时，振子的平衡位置在的地方。在电梯向下加速运动期间，振子正好完成5次全振动，因此两个阶段内振子的振幅都是。弹簧的伸长随时间变化的规律如图5-2-2所示，读者可以思考一下，如果电梯第二阶段的匀减速运动不是从5T时刻而是从4.5T时刻开始的，那么图线将是怎样的？
（2）弹簧的组合设有几个劲度系数分别为、……的轻弹簧串联起来，组成一个新弹簧组，当这个新弹簧组在F力作用下伸长时，各弹簧的伸长为，那么总伸长
各弹簧受的拉力也是F，所以有故
根据劲度系数的定义，弹簧组的劲度系数：即得
图5-2-3
如果上述几个弹簧并联在一起构成一个新的弹簧组，那么各弹簧的伸长是相同的。要使各弹簧都伸长，需要的外力：
根据劲度系数的定义，弹簧组的劲度系数：
导出了弹簧串、并联的等效劲度系数后，在解题中要灵活地应用，如图5-2-3所示的一个振动装置，两根弹簧到底是并联还是串联？这里我们必须抓住弹簧串并联的本质特征：串联的本质特征是每根弹簧受力相同；并联的本质特征是每根弹簧形变相同。由