右矩形求积公式Read.ppt

Chapter7数值积分与数值微分内容提纲（Outline)7.1代数精确度一般把积分区间n个点{xk}上的函数值f(xk)加权Ak的和

作为积分I(f)的近似,
即
或记
(2)

上式中xk，Ak分别称为求积节点、求积系数.求积系数与被积函数f(x)无关,而与求积节点、求积区间、权函数有关．称公式(2)为n点求积公式，有时也称

为一个n点求积公式，为求积公式的误差．用此公式)求积分近似值的计算称为数值积分或数值微分．定义１若对任意的，求积公式(2)的误差都满足，则称该求积公式具有n次代数精确度．
验证一个求积公式所具有的代数精确度用定义１是极不方便的，为此给出另一个定义．定义2若对函数，
求积公式(2)精确成立，即
而，
则称其具有n次代数精确度．
因为函数组是的一组基函数，所以两个定义是等价的，但在具体应用时，定义2比定义1要方便的多．例１验证求积公式

具有3次代数精确度．
解：当
而

有（1）当

（2）当

（3）当（1）当

故求积公式具有三次代数精确度．7.2插值型求积公式7.2.1Newton-Cotes求积公式将n次Lagrange插值多项式Ln(x)代替被积函数f(x)得

记

称为Cotes求积系数．它与(3)式中的求积系数Ak相差一个常数b-a
即把Ak代入到(3)式中，得到Newton-Cotes求积公式．例如
当n=4,5时，Newton-Cotes公式分别为

n=0,1,2三种情形，在讨论(3)式中的余项R(1,f)后再详细讨论．二、误差估计
求积公式(3)计算出的积分I(f)的近似值In+1(f)的误差多大？
若被积函数，记，
对n次Lagrange插值余项求积，可得n+1个节点的Newton-Cotes求积公式的误差估计式为
(5)验证求积公式(3)的代数精确度，不用误差估计的(4)式，而用直接对插值余项求积的形式，即
(5)
由(5)式，显而易见，当时，因
可知，R(1,f)=0，所以我们所n+1点的求积公式(3)至少具有n次的代数精确度．进一步可以证明，当n为偶数时，求积公式(3)的代数精确度可以达到n+1次．三、几种常见的Newton-Cotes求积公式
对n=0,1,2,按公式(3)可以得出下面三种常见的Newton-Cotes求积公式.
1.n=0时的矩形求积公式
分别以积分区间[a,b]的左、右端点和区间中点，即x=a，b，(a+b)/2为求积节点得到：
左矩形求积公式：
右矩形求积公式：
中矩形求积公式：
三个求积公式的误差估计，可将函数f(x)分别在
处展开到含f(x)的一阶导数的Taylor公式在区间[a,b]上积分
推得．2.n=1时的梯形求积公式
按Cotes系数公式计算得
故求积系数A0,A1为 ，
梯形求积公式为
记
(6)式的几何意义如图7-2所示（见p327）
容易验证公式(6)的代数精确度的次数为1.
考虑梯形求积公式(6)的误差估计R(1,f)．假定
时，用推广的积分中植定理，将过(a,f(a)),(b,f(b))点的线性
插值的余项在[a,b]上积分，可得

其中3.n=2时的Simpson求积公式
按Cotes系数公式可以计算出
为此，，
所以
(8)

公式(8)称为Simpson求积公式．由7.1节例1可知
Simpson求积公式(8)具有３次的代数精确度．
Simpson求积公式(8)的误差估计R(1,f)不能直接有插值
余项利用推广的积分中值定理在
[a,b]上积分推出．原因是在[a,b]上要变号．