求积公式ppt课件.ppt

§4.1求积公式
4.1.1求积公式等函数的积分都无法解决，当被积函数为一组数据时，更是无能为力.为解决定积分的近似计算,从定积分的定义：所以以上求积公式的代数精度为3.§4.2牛顿-柯特斯公式这种由等距节点的内插求积公式通常叫做牛顿-柯特斯公式,下面介绍几个常用的公式:§4.3复化求积公式4.3.1.复化梯形公式Tn叫做复化梯形求积公式，下标n表示将积分区间等分的份数.从这一公式可以看出，将区间对分后，原复化梯形公式的值Tn作为一个整体保留.只需计算出新分点的函数值，便可得出对分后的积分值，不需重复计算原节点的函数值，从而减少了计算量.定理4.3设f(x)∈C2[a,b]，复化梯形公式的截断误差解:因为被积函数另一方法是利用公式前后两次计算结果的差来估计误差的，即用｜T2n-Tn｜＜ε,这是因为这种误差估计方法通常叫做事后误差估计，在计算机上用来
控制计算精度常用这一方法，有的也把这种方法叫做步长的
自动选取或逐次对分的方法.4.3.2复化抛物形公式S2m叫做复化抛物形求积公式，下标2m表示积分区间等分的份数，2m强调为偶数份.例4利用复化抛物形公式计算
使其误差限为10-4，应将区间［0,1］几等分?前面用复化梯形公式计算此题，满足相同的精度需要将区间［0,1］17等分，可见复化抛物形公式的精度的确比复化梯形公式精度高同样也可用
｜S4m-S2m｜<ε
来控制计算的精度.于是可以逐次对分形成一个序列{T1,T2,T4,T8,…},此序列收敛
于积分真值I.当|T2n-Tn|<ε时,取T2n为I的近似值.以上算法称
为复化梯形公式的逐次分半公式.但由于此序列收敛太慢,因
此并不实用.现我们试图将它改造成为收敛快的序列.于是有:如认为T1例5利用龙贝格方法计算

解:计算结果列如下表:§4.5高斯型求积公式这里积分区间选为[-1,1]不失一般性，因为对区间[a,b]，总可用变量替换取前四个方程构成此方程组是因为只有4个待定数x0,x1，A0,A1，即代数精度m=3.从上面这一简单的例子可以看到，节点数目不变的情况下，求积公式的代数精度是可以提高的.下面就对一般问题进行讨论，即当节点数目为n+1时，求积公式的代数精度最高能达多少，怎样才能达到这一最高的代数精度.其中ρ(x)≥0为权函数，为使此公式对f(x)为不超过2n+1次的多项式时能精确成立，记:如果对任何不超过n次的多项式q(x)都有即求积公式(4.40)对不超过2n+1次的多项式能精确成立,而
满足条件(4.43)只需q(x)与ω(x)为区间［a,b］上关于权函
数ρ(x)正交，若取节点xk(k=0,1,2,…,n)恰为此正交多项式
系中n+1次多项式的n+1个零点，而由正交多项式的性质可知
这些根均为实根，无重根，且全部分布在(a,b)内这样，对
于给定的权函数总能构造出关于此权函数在［a,b］区间上的
正交多项式系｛Pk(x)｝，然后取其第n+1次多项式的n+1个零
点作为高斯型求积公式的节点.节点确定之后，再按下面的公
式计算高斯型积分公式的求积系数:这里,lk(x)就是拉格朗日插值基函数.高斯型求积公式在计算含e-x，e-x2等因子的广义积分时十分有用
这是其它方法不可比拟的表4-4给出了Gauss-Legendre求积公式在n=2～8时的节点与对应的系数.2.高斯-拉盖尔(Gauss-Laguerre)求积公式
该公式以［0,+∞)区间上，关于权函数ρ(x)=e-x的拉盖尔多项式使用不同的n值，下列对n=2,3,4,5的计算结果列于下表3.高斯-埃尔米特(Gauss-Hermite)求积公式
该公式以(-∞,+∞)上关于权函数ρ(x)=e-x2的埃尔米特多项式使用不同的n值，下列对n=2,3,4,5的计算结果列于下表本章介绍的几种求积方法各具特点：(3)高斯型求积公式，该方法是最高代数精度的求积方法，
但它的节点和求积系数都没有规则，当节点增加时，前
面的计算结果不能被利用，只能重新计算.因此上机计算
时，需要事先输入节点数和各种高斯型求积公式的节点与
系数表.它的最大优点是适用于某些无穷区间上的广义积分
的计算.