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基于MATLAB的动态规划常用算法的实现
动态规划（DynamicProgramming）是一种优化思想，是一种将问题分解成子问题进行求解的方法，以找到全局最优解为目标的问题。MATLAB可以很好地实现动态规划算法，并且在很多领域都得到广泛应用。
动态规划的常用算法包括斐波那契数列、背包问题、最长公共子序列等。这些算法都有共同点：建立一个状态转移方程，根据已知数据得到未知数据的过程。因此，动态规划问题通常具有以下性质：重叠子问题和最优子结构。
重叠子问题指的是，在求解一个问题的过程中，会遇到相同的子问题。为了避免重复计算，需要将已经解决的子问题的答案存储起来，以便其他相同问题的求解可以直接调用已知答案。这就是动态规划算法的一个重要性质。
最优子结构指的是，一个问题的最优解可以由其子问题的最优解得出。即，如果一个问题的最优解，可以将子问题的最优解组合起来得到，则该问题具有最优子结构。这个性质可以简化问题的解法，使得问题的求解更加简单。
在使用动态规划算法求解问题时，我们通常需要以下步骤：
1.定义问题的状态：确定需要求解的问题的状态，状态是用来描述问题的变量。
2.定义状态转移方程：根据已知的数据和新的状态来更新问题的状态转移方程。
3.定义初始状态：在状态转移过程中，需要一个初始状态来作为起点。
4.重复计算和利用：使用已有的计算结果，避免不必要的重复计算，提高算法效率。
下面我们分别介绍斐波那契数列、背包问题和最长公共子序列三个动态规划常用算法的实现。
斐波那契数列
斐波那契数列是一种数列，其特点是当前数等于前两个数之和。即F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n>=3,F(1)=1,F(2)=1)。在这个问题中，数字本身是状态，因为我们需要创造每个数字，以便将其添加到n（待解决的斐波那契数字）中。
对于斐波那契数列，我们可以使用递归算法求解，在递归的过程中会出现大量的重复计算，导致算法效率低下。因此，我们可以用动态规划算法来求解斐波那契数列。
在MATLAB中，可以使用数组来记录已经求解的问题的答案，避免重复计算。下面是在MATLAB中实现斐波那契数列的动态规划算法的代码。
```matlab
functiony=fib(n)
f=zeros(1,n);
f(1)=1;
f(2)=1;
fori=3:n
f(i)=f(i-1)+f(i-2);
end
y=f(n);
end
```
背包问题
背包问题是指给定一定容量的背包和一系列物品（每个物品都有自己的重量和价值），我们需要选择哪些物品放入背包中，以最大化放入背包的物品总价值。背包问题可以分为0/1背包问题和完全背包问题。
0/1背包问题指的是，每个物品最多只能放一次。完全背包问题则是每个物品可以选择放入多次。在MATLAB中，我们可以使用二维数组来记录已经放入物品的最大价值，并使用动态规划算法求解。
下面是在MATLAB中实现背包问题的动态规划算法的代码。
```matlab
functiony=KnapsackProblem(weights,values,capacity)
n=length(weights);
f=zeros(n+1,capacity+1);
fori=1:n
forj=1:capacity
ifj<weights(i)
f(i+1,j)=f(i,j);
else
f(i+1,j)=max(f(i,j),f(i,j-weights(i))+values(i));
end
end
end
y=f(n+1,capacity);
end
```
最长公共子序列
最长公共子序列指的是找到两个序列中最长的子序列，并且子序列中元素的相对顺序与原序列一致。在MATLAB中，我们可以使用动态规划算法求解最长公共子序列。
对于两个序列，从左到右逐个比较元素，如果元素相同，则在两个序列中同时移动指针。如果元素不同，则在其中一个序列中移动指针，或两个序列中均移动指针，但答案不会增加。
下面是在MATLAB中实现最长公共子序列的动态规划算法的代码。
```matlab
functiony=LCS(A,B)
lenA=length(A);
lenB=length(B);
f=zeros(lenA+1,lenB+1);
fori=1:lenA
forj=1:lenB
ifA(i)==B(j)
f(i+1,j+1)=f(i,j)+1;
else
f(i+1,j+1)=max(f(i+1,j),f(i,j+1));
end
end
end
y=f(lenA+1,lenB+1);
end
```
总结
动态规划算法是一种有效的求解复杂问题的方法，在MATLAB中实现动态规划算法也很简单。通过定义问题的状态、状态转移方程、初始状态，以及避免重复计算等步骤，可以轻松地实现动态规划算法。