西安石油大学现代数值计算方法教学.ppt

常微分方程初值问题的数值解法本章着重讨论一阶常微分方程初值问题定理：如果f(x，y)满足李普希兹（Lipschitz）条件假设解y(x)在区间[a,b]上是存在而且唯一的，
并且具有充分的光滑度，因此，要求f(x,y)也充
分光滑。初值问题的解析解(理论解）用表示,
数值解法的精确解用表示。§8.1欧拉法与梯形法取h的线性部分,并用表示的近似值,得3、数值微分法二、梯形法使用上式时，先用第一式算出xn+1处yn+1的初始近似证明：由实用中,在h取得较小时,用梯形公式计算,第二式只迭代一次就结束,得到Euler预估-校正格式:四、方法的误差估计、收敛性和稳定性用泰勒展开法推导Euler预估－校正格式的局部截断误差而而定义3：若一个方法的局部截断误差为，则称该方法为p阶方法,或称该方法具有p阶精度。P232定义2整体截断误差与局部截断误差的关系收敛性与稳定性稳定性稳定性结论§8.2泰勒展开法与龙格-库塔（Runge–Kutta）方法假定初值问题的解y（x）及函数f（x，y）是充分光滑的，则:其中，上式称为p阶Taylor方法。特别地，当p＝1时，就是Euler公式。当p＝2时，得二阶Taylor方法：二、Runge－Kutta方法其中，为常数，选取这些常数的原则是，要求第一式的右端在处泰勒展开后，按h的幂次重新整理，得到上述公式叫做N级的Runge-Kutta方法，其局部截断误差为二阶龙格-库塔公式将在处展开，有而y(xn+1)在xn处的Taylor展式为：Euler预估-校正格式Remark1：我们可以构造无穷多个二级R-K方法，这些方法的截断误差均为O(h3),即都是二阶方法。其中二阶Heun方法是截断误差项数最少，且允许f任意变化的情况下截断误差最小的二阶方法。
Remark2：二级R-K方法不可能达到三阶
Remark3：同样可构造其他阶的R-K方法，它们都有无穷多组解，且三级R-K方法阶数不超过3，四级R-K方法阶数不超过4。
Remark4：更高阶的方法由于计算量较大，一般不再采用。常用的三阶R-K公式（具有三阶精度）标准（经典）四阶R-K公式（有四阶精度）关于R-K方法计算量的讨论线性多步法的基本思想：如果充分利用前面多步的信息来预测yn+k，则可以期望获得较高的精度。线性多步法的一般形式一、用数值积分方法构造线性多步法其插值余项为：把F(x)=L3(x)+R3(x)代入（1）式，有则从而得到线性四步Adams显式公式：因(x-xn)(x-xn-1)(x-xn-2)(x-xn-3)在[xn,xn+1]上不变号，并设F(4)(x)在[xn,xn+1]上连续，利用积分中值定理，存在n[xn,xn+1]，使得2.阿达姆斯(Adams)内插公式3.阿达姆斯(Adams)预估-校正公式当Taylor展开法更具一般性，不仅可以构造用数值积分法得出的数值方法，而且还可导出积分法得不到的方法。它比积分法更加灵活。下面仅举一例说明如何用这种方法构造线性多步法。将函数将上式与求解上述方程组，得出0，1，－1，0，1。所得到的算式的局部截断误差为O(h5)。此时上式中第5式也恰巧成立。可以得到上式得截断误差为：三、出发值的计算理论上讲，可用Taylor展开法和Runge-Kutta方法，计算出发值。但由于Taylor展开法要计算高阶导数值，故最常用的方法还是选择与多步法同阶的Runge-Kutta方法。一旦出发值计算出来，线性多步法的计算量（特别是显式公式）就会很小，因为每次只须计算一次f值。§8.4数值算例返回第8章例题由y(1)=y0=1计算得:例2:用二阶泰勒展开法求初值问题:例3（作业5）证明求解初值问题因此有代入（1）式并按h的幂次整理后有：此时（3）式与（2）相减有：