河南师大附中2013-2014学年高中数学 2.2.1 综合法和分析法练习（2）新人教A版选修1-2.doc

2.2.1综合法和分析法(二)
一、选择题
1．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则()
A．a≤eq\f(1,2) B．ab≥eq\f(1,2)C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3
2．已知a、b、c、d∈{正实数}，且eq\f(a,b)<eq\f(c,d)，则 ()
A.eq\f(a,b)<eq\f(a＋c,b＋d)<eq\f(c,d) B.eq\f(a＋c,b＋d)<eq\f(a,b)<eq\f(c,d)
C.eq\f(a,b)<eq\f(c,d)<eq\f(a＋c,b＋d) D．以上均可能
3．下面四个不等式：
①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac；②a(1－a)≤eq\f(1,4)；
③eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2；④(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
其中恒成立的有()
A．1个 B．2个C．3个 D．4个
4．若实数a，b满足0<a<b，且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是()
A.eq\f(1,2) B．2ab C．a2＋b2 D．a
5．命题甲：(eq\f(1,4))x、2－x、2x－4成等比数列；命题乙：lgx、lg(x＋2)、lg(2x＋1)成等差数列，则甲是乙的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．若a>b>1，P＝eq\r(lga·lgb)，Q＝eq\f(1,2)(lga＋lgb)，R＝lg(eq\f(a＋b,2))，则()
A．R<P<Q B．P<Q<RC．Q<P<R D．P<R<Q
二、填空题
7．设a＝eq\r(3)－eq\r(2)，b＝eq\r(6)－eq\r(5)，c＝eq\r(7)－eq\r(6)，则a、b、c的大小顺序是________．
8．已知α、β为实数，给出下列三个论断：①αβ>0；②|α＋β|>5；③|α|>2eq\r(2)，|β|>2eq\r(2).以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，你认为正确的命题是________．
三、解答题
9．已知a、b、c∈R，且a＋b＋c＝1，求证：(eq\f(1,a)－1)(eq\f(1,b)－1)·(eq\f(1,c)－1)≥8.

10．已知a、b、c是不全相等的正数，且0<x<1.
求证：logxeq\f(a＋b,2)＋logxeq\f(b＋c,2)＋logxeq\f(a＋c,2)<logxa＋logxb＋logxc.
2.2.1（二）1．C2．A3．C4．C5．C6．B7．a>b>c8．①③⇒②
9．证明方法一(分析法)
要证(eq\f(1,a)－1)(eq\f(1,b)－1)(eq\f(1,c)－1)≥8成立，
只需证eq\f(1－a,a)·eq\f(1－b,b)·eq\f(1－c,c)≥8成立．
因为a＋b＋c＝1，
所以只需证eq\f(a＋b＋c－a,a)·eq\f(a＋b＋c－b,b)·eq\f(a＋b＋c－c,c)≥8成立，
即证eq\f(b＋c,a)·eq\f(a＋c,b)·eq\f(a＋b,c)≥8成立．
而eq\f(b＋c,a)·eq\f(a＋c,b)·eq\f(a＋b,c)≥eq\f(2\r(bc),a)·eq\f(2\r(ac),b)·eq\f(2\r(ab),c)＝8成立．
∴(eq\f(1,a)－1)(eq\f(1,b)－1)(eq\f(1,c)－1)≥8成立．
方法二(综合法)
(eq\f(1,a)－1)(eq\f(1,b)－1)(eq\f(1,c)－1)
＝(eq\f(a＋b＋c,a)－1)(eq\f(a＋b＋c,b)－1)(eq\f(a＋b＋c,c)－1)
＝eq\f(b＋c,a)·eq\f(a＋c,b)·eq\f(a＋b,c)
＝eq\f(b＋ca＋ca＋b,abc)
≥eq\f(2\r(bc)·2\r(ac)·2\r(ab),abc)＝8，
当且仅当a＝b＝c时取等号，所以原不等式成立．
10．证明要证logxeq\f(a＋b,2)＋logxeq\f(b＋c,2)＋logxeq\f(a＋c,2)<logxa＋logxb＋logxc，
只需证logx(eq\f(a＋b,2)·eq\f(b＋c,2)·eq\f(a＋c,