2012-2013高中数学《第一讲 坐标系》真题考点 新人教A版选修4-4.doc

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第一讲坐标系
本章归纳整合
高考真题
1．(2011·北京)在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是()．
A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(π,2)))
C．(1，0) D．(1，π)
解析因为该圆的直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，即为x2＋(y＋1)2＝1，圆心
的直角坐标方程为(0，－1)，化为极坐标可以为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(π,2)))，故选B.
答案B
2．(2011·安徽)在极坐标系中，点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))到圆ρ＝2cosθ的圆心的距离为()．
A．2 B.eq\r(4＋\f(π2,9))
C.eq\r(1＋\f(π2,9)) D.eq\r(3)
解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ＝2cos\f(π,3)＝1,y＝ρsinθ＝2sin\f(π,3)＝\r(3)))可知，点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))的直角坐标为(1，eq\r(3))，
圆ρ＝2cosθ的方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，则圆心到点(1，eq\r(3))
的距离为eq\r(3).
答案D
3．(2011·江西)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．
解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ,y＝ρsinθ))得，cosθ＝eq\f(x,ρ)，sinθ＝eq\f(y,ρ)，ρ2＝x2＋y2，代入ρ＝2sin
θ＋4cosθ得，ρ＝eq\f(2y,ρ)＋eq\f(4x,ρ)⇒ρ2＝2y＋4x⇒
x2＋y2－4x－2y＝0.
答案x2＋y2－4x－2y＝0
4．(2011·湖南)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosα，,y＝1＋sinα))(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C2的方程为ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0，则C1与C2的交点个数为________．
解析曲线C1的普通方程是x2＋(y－1)2＝1，曲线C2的直角坐标方程是x－y
＋1＝0，由于直线x－y＋1＝0经过圆x2＋(y－1)2＝1的圆心，故两曲线的交
点个数是2.
答案2
5．(2011·福建)在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)cosα，,y＝sinα))(α为参数)．
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极
点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,2)))，判断点P与直线l
的位置关系；
(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
解(1)把极坐标系下的点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,2)))化为直角坐标，得P(0，4)．因为点P的
直角坐标(0，4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．
(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(eq\r(3)cosα，sinα)，从而点
Q到直线l的距离为
d＝eq\f(|\r(3)cosα－sinα＋4|,\r(2))＝eq\f(2cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＋4,\r(2))
＝eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＋2eq\r(2).
由此得，当coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝－1时，d取得最小值，且最小值为eq\r(2).