（鲁京津琼专用）高考数学大一轮复习 第十二章 概率、随机变量及其分布 第6讲 几何概型练习（含解析）-人教版高三全册数学试题.doc

第6讲几何概型
一、选择题
1.在区间[－2，3]上随机选取一个数x，即x≤1，故所求的概率为()
A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5) C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)
解析在区间[－2，3]上随机选取一个数x，且x≤1，即－2≤x≤1，故所求的概率为P＝eq\f(3,5).
答案B
2.如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是eq\f(1,3)，则阴影部分的面积是()
A.eq\f(π,3) B.π C.2π D.3π
解析设阴影部分的面积为S，且圆的面积S′＝π·32＝9π.由几何概型的概率，得eq\f(S,S′)＝eq\f(1,3)，则S＝3π.
答案D
3.(2015·山东卷)在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤logeq\s\do9(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1”发生的概率为()
A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,3) C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)
解析由－1≤logeq\s\do9(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1，得eq\f(1,2)≤x＋eq\f(1,2)≤2，
解得0≤x≤eq\f(3,2)，所以事件“－1≤logeq\s\do9(\f(1,2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1”发生的
概率为eq\f(\f(3,2),2)＝eq\f(3,4)，故选A.
答案A
4.(2017·东北师大附中检测)若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()

A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,4) C.eq\f(π,6) D.eq\f(π,8)
解析设质点落在以AB为直径的半圆内为事件A，则P(A)＝eq\f(阴影面积,长方形面积)＝eq\f(\f(1,2)π×12,1×2)＝eq\f(π,4).
答案B
5.在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD－A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为()
A.eq\f(π,12) B.1－eq\f(π,12) C.eq\f(π,6) D.1－eq\f(π,6)
解析设“点P到点O的距离大于1”为事件A.
则事件A发生时，点P位于以点O为球心，以1为半径的半球的外部.
∴V正方体＝23＝8，V半球＝eq\f(4,3)π·13×eq\f(1,2)＝eq\f(2,3)π.
∴P(A)＝eq\f(23－\f(2,3)π,23)＝1－eq\f(π,12).
答案B
6.已知△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为()
A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3) C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)
解析如图，当BE＝1时，∠AEB为直角，则点D在线段BE(不包含B，E点)上时，△ABD为钝角三角形；当BF＝4时，∠BAF为直角，则点D在线段CF(不包含C，F点)上时，△ABD为钝角三角形.所以△ABD为钝角三角形的概率为eq\f(1＋2,6)＝eq\f(1,2).
答案C
7.设不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤2))表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()
A.eq\f(π,4) B.eq\f(π－2,2) C.eq\f(π,6) D.eq\f(4－π,4)
解析如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的是区域D内到原点距离大于2的区域，易知该阴影部分的面积为4－π，因此满足条件的概率是eq\f(4－π,4).故选D.
答案D
8.(2017·华师附中联考)在区间[0，4]上随机取两个实数x，y，使得x＋2y≤8的概率为()
A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,16) C.eq\f(9,16) D.eq\f(3,4)
解析由x，y∈[0，4]知(x，y)构成的区域是边长为4的