高考数学大一轮复习 考点规范练14 导数的概念及运算 理 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题.docx

考点规范练14导数的概念及运算
考点规范练B册
基础巩固
1.已知函数f(x)=3x+1,则limΔx→0f(1-Δx)-f(1)Δx的值为()
A.-13 B.13 C.23 D.0
答案:A
解析:limΔx→0f(1-Δx)-f(1)Δx=-limΔx→0f(1-Δx)-f(1)-Δx=-f'(1)=-13×1-23=-13.
2.已知曲线y=lnx的切线过原点,则此切线的斜率为()
A.e B.-e C.1e D.-1e
答案:C
解析:由题意可得y=lnx的定义域为(0,+∞),且y'=1x.
设切点为(x0,lnx0),则切线方程为y-lnx0=1x0(x-x0).
因为切线过点(0,0),所以-lnx0=-1,解得x0=e,故此切线的斜率为1e.
3.已知函数f(x)在R上满足f(2-x)=2x2-7x+6,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是()
A.y=2x-1 B.y=x
C.y=3x-2 D.y=-2x+3
答案:C
解析:令x=1,得f(1)=1;令2-x=t,可得x=2-t,代入f(2-x)=2x2-7x+6得f(t)=2(2-t)2-7(2-t)+6,化简整理得f(t)=2t2-t,即f(x)=2x2-x,
∴f'(x)=4x-1,∴f(1)=1,f'(1)=3,
∴所求切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2.
4.(2019广东七校联考)函数f(x)=xcosx的导函数f'(x)在区间[-π,π]上的图象大致是()

答案:A
解析:由题意,得f'(x)=cosx+x(-sinx)=cosx-xsinx.因为f'(-x)=f'(x),所以f'(x)为偶函数.又f'(0)=1,所以排除选项C,D.又f'π2=-π2<0,所以排除选项B.故选A.
5.曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则点P的坐标为()
A.(1,3) B.(-1,3)
C.(1,3)和(-1,3) D.(1,-3)
答案:C
解析:∵f(x)=x3-x+3,∴f'(x)=3x2-1.
设点P(x,y),则f'(x)=2,即3x2-1=2,解得x=1或x=-1,故P(1,3)或(-1,3).
经检验,点(1,3),(-1,3)均不在直线y=2x-1上,符合题意.故选C.
6.已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,2),则ab等于()
A.-8 B.-6 C.-1 D.5
答案:A
解析:由题意得y=kx+1过点A(1,2),故2=k+1,即k=1.
∵y'=3x2+a,且直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,2),
∴k=3+a,即1=3+a,∴a=-2.
将点A(1,2)代入曲线方程y=x3+ax+b,可解得b=3,
即ab=(-2)3=-8.故选A.
7.若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()
A.y=sinx B.y=lnx C.y=ex D.y=x3
答案:A
解析:设曲线上两点P(x1,y1),Q(x2,y2),
则由导数几何意义可知,两条切线的斜率分别为k1=f'(x1),k2=f'(x2).
若函数具有T性质,则k1·k2=f'(x1)·f'(x2)=-1.
A项,f'(x)=cosx,显然k1·k2=cosx1·cosx2=-1有无数组解,所以该函数具有性质T;
B项,f'(x)=1x(x>0),显然k1·k2=1x1·1x2=-1无解,故该函数不具有性质T;
C项,f'(x)=ex>0,显然k1·k2=ex1·ex2=-1无解,故该函数不具有性质T;
D项,f'(x)=3x2≥0,显然k1·k2=3x12×3x22=-1无解,故该函数不具有性质T.
综上,选A.
8.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+154x-9都相切,则a等于()
A.-1或-2564 B.-1或214
C.-74或-2564 D.-74或7
答案:A
解析:因为y=x3,所以y'=3x2.
设过点(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,x03),
则在该点处的切线斜率为k=3x02,所以切线方程为y-x03=3x02(x-x0),即y=3x02x-2x03.
又点(1,0)在切线上,则x0=0或x0=32.
当x0=0时,由y=0与y=ax2+154x-9相切,可得a=-2564;
当x0=32时,由y=274x-274与y=ax2+154x-9相切,可得a=-1.
9.曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=.
答案:-3
解析:设f(x)=(ax+1)ex,
∵f'(x)=a·ex+(ax+1)ex=(ax+a