高考数学大一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第13讲 变化率与导数、导数的计算课时达标 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学试题.doc

第13讲变化率与导数、导数的计算
课时达标
一、选择题
1．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)＝()
A．2 B．0
C．－2 D．－4
D解析f′(x)＝2f′(1)＋2x，令x＝1，则f′(1)＝2f′(1)＋2，得f′(1)＝－2，所以f′(0)＝2f′(1)＋0＝－4.
2．设曲线y＝eq\f(1＋cosx,sinx)在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a等于()
A．－1 B．eq\f(1,2)
C．－2 D．2
A解析因为y′＝eq\f(－1－cosx,sin2x)，所以y′|x＝eq\f(π,2)＝－1，由条件知eq\f(1,a)＝－1，所以a＝－1.
3.(2019·衡水调研)曲线y＝1－eq\f(2,x＋2)在点(－1，－1)处的切线方程为()
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
A解析因为y＝1－eq\f(2,x＋2)，所以y′＝eq\f(2,x＋22)，y′|x＝－1＝2，所以曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2，所求切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
4.在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，f(x)＝x(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)，f′(x)为函数f(x)的导函数，则f′(0)＝()
A．0 B．26
C．29 D．212
D解析因为f(x)＝x(x－a1)(x－a2)(x－a3)·…·(x－a8)，
所以f′(x)＝x′(x－a1)…(x－a8)＋x[(x－a1)·…·(x－a8)]′,＝(x－a1)·…·(x－a8)＋x[(x－a1)·…·(x－a8)]′，
所以f′(0)＝(－a1)·(－a2)·…·(－a8)＋0＝a1·a2·…·a8＝(a1·a8)4＝(2×4)4＝(23)4＝212.
5.已知点P在曲线y＝eq\f(4,ex＋1)上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是()
A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))
C．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))
B解析因为y＝eq\f(4,ex＋1)，所以y′＝eq\f(－4ex,ex＋12)＝eq\f(－4ex,ex2＋2ex＋1)＝eq\f(－4,ex＋\f(1,ex)＋2)≥－1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当ex＝\f(1,ex)，即x＝0时，等号成立))，又eq\f(－4,ex＋\f(1,ex)＋2)＜0，所以－1≤tanα<0.又因为0≤α<π，所以eq\f(3π,4)≤α<π.故选B．
6．下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)＝()

A．eq\f(1,3) B．－eq\f(2,3)
C．eq\f(7,3) D．－eq\f(1,3)或eq\f(5,3)
D解析因为f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，所以f′(x)的图象开口向上，则②④排除．若f′(x)的图象为①，此时a＝0，f(－1)＝eq\f(5,3)；若f′(x)的图象为③，此时a2－1＝0，又对称轴x＝－a>0，所以a＝－1，所以f(－1)＝－eq\f(1,3).
二、填空题
7．曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．
解析由y＝－5ex＋3得y′＝－5ex，所以切线的斜率k＝y′|x＝0＝－5，所以切线方程为y＋2＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.
答案5x＋y＋2＝0
8．(2018·全国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝________.
解析y′＝aex＋(ax＋1)ex＝ex(ax＋a＋1)，
y′|x＝0＝e0(a＋1)＝a＋1＝－2，所以a＝－3.
答案－3
9．已知曲线y＝eq\f(x2,4)－3lnx的一条切线的斜率为eq\f(1,2)，则切点坐标为________．
解析因为y′＝eq\f(x,2)－eq\f(3,x)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\c