高中数学构造法在解三角题中的应用例说学法指导.doc

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高中数学构造法在解三角题中的应用例说
在解题时按常规方法难以解决或无以下手时，就需要改变方向在更广阔的背景下，通过对条件或结论的分析与思考，构造出与问题有关的代数或几何模型，从而找到解决问题的方法与途径。巧妙应用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种知识相互渗透与交融，使学生的视野更开阔，创新思维得到发展与提高。下面例说构造法在解三角问题中的应用。
一.构造方程
例1.已知锐角满足，求证：。
证明：已知条件可视为关于的一元二次方程

因为是锐角，所以也均为锐角，由一元二次方程求根公式得：

又则，再由，则有，故

二.构造函数
例2.在斜△ABC中，证明sinAsinBsinC>sinA+sinB+sinC-2
证明：构造函数
因为
（因为sinA<1，sinB<1）
而f(x)在（0，1）上单调递减（因为sinAsinB-1<0）
所以f(x)在（0，1）上恒有f(x)>0
故f(sinC)>0
代入整理得：sinAsinBsinC>sinA+sinB+sinC-2

三.构造不等式
例3.设α、β是锐角，且满足，求证：

证明：因为α、β是锐角，则均大于0
所以 ①
同理 ②
由①+②结合已知得，于是①，②等号同时成立
即有且
有
故结论得证。

四.构造数列
例4.已知，求的值。
解：由条件，可知构成一个等差数列。
设其公差为d，则
由
可得
解得
又因为，所以，故应舍去。
所以，则
故

五.构造向量
例5.已知，求锐角α、β。
解：由已知得 ①
构造向量
由于
所以
又由，有
即
所以
将代入①并整理得：

则

六.构造复数
例6.已知，求
解：构造复数
则 ①
所以
又
所以，代入①式
则
所以
又
所以

七.构造对偶式
例7.求的值。
解：设
构造
则 ①

②
由①+②得，即为所求三角式的值。

八.构造比例式
例8.求证：
证明：因为，所以
由等比定理知：

则有

九.构造平几模型
例9.（题见例7）
解：原式可变为
故构造三内角分别为10°，20°，150°的三角形
由余弦定理知： ①
再由正弦定理知： ②
将B＝10°，A＝20°，C＝150°代入①，并结合②式知

十.构造解析几何模型
例10.已知，求证：
证明：由知点A（）
在单位圆周上，由于单位圆在点A处的切线方程为
，又
所以单位圆上的点B（cosβ，sinβ）在这条切线上
又因为过圆上一点只有一条切线，从而A，B两点重合
则
故，那么
于是