构造法在解三角题中的应用例说 学法指导 不分版本 试题.doc

构造法在解三角题中的应用例说廖义杰羊勇在解题时按常规方法难以解决或无以下手时就需要改变方向在更广阔的背景下通过对条件或结论的分析与思考构造出与问题有关的代数或几何模型从而找到解决问题的方法与途径。巧妙应用构造法解题可以使代数、三角、几何等各种知识相互渗透与交融使学生的视野更开阔创新思维得到发展与提高。下面例说构造法在解三角问题中的应用。一.构造方程例1.已知锐角满足求证：。证明：已知条件可视为关于的一元二次方程因为是锐角所以也均为锐角由一元二次方程求根公式得：又则再由则有故二.构造函数例2.在斜△ABC中证明sinAsinBsinC>sinA+sinB+sinC-2证明：构造函数因为（因为sinA<1sinB<1）而f(x)在（01）上单调递减（因为sinAsinB-1<0）所以f(x)在（01）上恒有f(x)>0故f(sinC)>0代入整理得：sinAsinBsinC>sinA+sinB+sinC-2三.构造不等式例3.设α、β是锐角且满足求证：证明：因为α、β是锐角则均大于0所以①同理②由①+②结合已知得于是①②等号同时成立即有且有故结论得证。四.构造数列例4.已知求的值。解：由条件可知构成一个等差数列。设其公差为d则由可得解得又因为所以故应舍去。所以则故五.构造向量例5.已知求锐角α、β。解：由已知得①构造向量由于所以又由有即所以将代入①并整理得：则六.构造复数例6.已知求解：构造复数则①所以又所以代入①式则所以又所以七.构造对偶式例7.求的值。解：设构造则①②由①+②得即为所求三角式的值。八.构造比例式例8.求证：证明：因为所以由等比定理知：则有九.构造平几模型例9.（题见例7）解：原式可变为故构造三内角分别为10°20°150°的三角形由余弦定理知：①再由正弦定理知：②将B＝10°A＝20°C＝150°代入①并结合②式知十.构造解析几何模型例10.已知求证：证明：由知点A（）在单位圆周上由于单位圆在点A处的切线方程为又所以单位圆上的点B（cosβsinβ）在这条切线上又因为过圆上一点只有一条切线从而AB两点重合则故那么于是