高中数学曲线系问题探讨与研究学法指导.doc

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高中数学曲线系问题探讨与研究
焦景会

曲线系问题是高中数学课程中重要而又难以掌握的问题，它可分为直线系、圆系、圆锥曲线系三类，现归纳分析如下，供同学们参考。
一.直线系问题
1.过两直线交点的直线系问题
若点是两直线与的交点，则过点P的直线系方程为：

例1.已知直线过的交点且过点，求的方程。
解：由题意可得的方程为
∵过点

解得：
因此的方程为
即

2.平行直线系问题
方程，当k为定值时，表示斜率为k的平行直线系。方程（为定值，）表示斜率为的平行直线系。
例2.直线且过点，求的方程。
解：因为，故设的方程为
点在直线上，则
即的方程为

3.过定点直线系
当k为变量时，方程表示过定点的直线系。
例3.求证：当m为任意实数时，直线必过一定点。
证明：将原方程变形为：

即
由此可知直线过定点（3，5）

二.圆系问题
1.过直线和圆交点或两圆交点的圆系问题
过圆和直线的交点的圆系方程为：
过圆和圆交点的曲线系方程为：
例4.求过圆和圆的交点，且圆心在直线上的圆的方程。
解：所求的圆过已知两圆交点，故可表示为：

即（*）
圆心，因为圆心在直线上，代入可得：

解得：
代入（*）式得：

2.同心圆系问题
方程，当为定点，r为变量时，表示同心圆系。
例5.求与圆同心，且过点（，1）的圆的方程。
解：所求圆与已知圆同心，可得方程
又所求圆过点（），将此点坐标代入方程可得：
则所求圆的方程为：

三.圆锥曲线系问题
1.离心率相同的圆锥曲线系问题
表示离心率相同的椭圆系。
表示离心率相同（且渐近线相同）的双曲线系。
2.共焦点的圆锥曲线系
表示共焦点的椭圆系。
表示共焦点的双曲线系。
例6.求与椭圆有公共焦点，且过点（0，3）的椭圆方程。
解：所求椭圆与已知椭圆有相同焦点，可设所求椭圆方程为
将点（0，3）坐标代入得：
故所求椭圆方程为

例7.求与双曲线共渐近线，且过点的双曲线方程。
解：设与已知双曲线共渐近线的双曲线方程为
因为在所求双曲线上，故代入可得，
所以
即为所求曲线方程。

例8.求渐近线方程为，经过点的双曲线的标准方程。
解：由渐近线方程得双曲线方程：
因为双曲线过点M，所以将点M的坐标代入得：

故所求双曲线方程为：