高中数学双曲线的对称问题例析学法指导.doc

用心爱心专心高中数学双曲线的对称问题例析学法指导王文合双曲线上存在两点，关于某条直线对称，求参数的取值范围，这类问题的常见解法是：设P（）、Q（）是双曲线上关于直线对称的两点，则PQ的方程为，代入双曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，其中P、Q的坐标即为方程的根，故△>0，从而求得k（或b）的取值范围。例1已知双曲线上存在关于l：的对称点，如图所示，求实数k的取值范围，并求中点M的轨迹。解：当k=0时，显然不成立当k≠0时，由l⊥AB，可设直线AB的方程为，将其代入中，得由题意知，且①设中点M的坐标为（），由韦达定理得M的坐标为。因为l平分AB，故M（）在直线l上，从而有，即。代入①式得，，所以b>0或b<－1。故，解得。将，。即中点M的轨迹为综上所述，当时，双曲线存在一条弦被直线l垂直平分，弦的中点的轨迹方程为。评析：本题解答的关键是合理利用几何条件“垂直”和“平分”，且满足△>0。所以，处理曲线上点关于直线对称的问题时应抓住三点：①对称点的连线与对称轴垂直；②对称点线段的中点在对称轴上；③对称点的连线与曲线相交（△>0）。例2已知直线y=ax+1与双曲线交于A、B两点。（1）求a的取值范围。（2）若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值。（3）是否存在这样的实数a，使A、B两点关于直线对称？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由。解：（1）由得依题意得，故，且（2）设A（）、B（），则因为以AB为直径的圆过原点，所以OA⊥OB∴，即把①②代入上式得，解得，且满足△>0与。（3）假设存在实数a，使A、B两点关于直线对称，则直线与垂直，所以，即l的方程为将代入中，得∴AB中点的横坐标为2，纵坐标而AB中点（2，－3）不满足直线方程，所以假设不成立。评析：双曲线上两点关于直线对称问题主要体现在弦中点在直线上，弦所在直线与已知直线垂直就能建立斜率及中点的关系，或用“设而不求”的思想，即充分运用“垂直平分”特征，巧妙使用“点差法”直接找到斜率及中点的关系，从而减少运算量。