创新设计（全国通用）高考数学二轮复习 专题七 选考系列 第1讲 坐标系与参数方程练习 理-人教版高三全册数学试题.doc

专题七选考系列第1讲坐标系与参数方程练习理
1.已知P为半圆C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝cosθ，,y＝sinθ))(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1，0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧eq\o(AP,\s\up8(︵))的长度均为eq\f(π,3).
(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；
(2)求直线AM的参数方程.
解(1)由已知，点M的极角为eq\f(π,3)，且点M的极径等于eq\f(π,3)，故点M的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,3))).
(2)点M的直角坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(\r(3)π,6)))，A(1，0).
故直线AM的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－1))t，,y＝\f(\r(3)π,6)t))(t为参数).
2.已知直线l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝m＋tcosα，,y＝tsinα))(t为参数，α≠kπ，k∈Z)经过椭圆C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosφ，,y＝\r(3)sinφ))(φ为参数)的左焦点F.
(1)求m的值；
(2)设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|·|FB|的最小值.
解(1)因为椭圆C：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosφ，,y＝\r(3)sinφ))的普通方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，
所以F(－1，0).
因为直线l：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝m＋tcosα，,y＝tsinα))的普通方程为y＝tanα(x－m)，
因为α≠kπ，k∈Z，所以tanα≠0.
因为0＝tanα(－1－m)，所以m＝－1.
(2)将直线的参数方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋tcosα，,y＝tsinα))代入椭圆C的普通方程eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1中，并整理，
得(3cos2α＋4sin2α)t2－6tcosα－9＝0.
设点A，B在直线参数方程中对应的参数分别为t1，t2.
则|FA|·|FB|＝|t1t2|＝eq\f(9,3cos2α＋4sin2α)＝eq\f(9,3＋sin2α)，
当sinα＝±1时，|FA|·|FB|取最小值eq\f(9,4).
3.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosα，,y＝2＋2sinα))
(α为参数)，M是C1上的动点，P点满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))，点P的轨迹为曲线C2.
(1)求C2的方程；
(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝eq\f(π,3)与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.
解(1)设P(x，y)，则由条件知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)，\f(y,2)))，由于M点在C1上，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＝2cosα，,\f(y,2)＝2＋2sinα，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4cosα，,y＝4＋4sinα.))
从而C2的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4cosα，,y＝4＋4sinα))(α为参数).
(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ.射线θ＝eq\f(π,3)与C1的交点A的极径为ρ1＝4sineq\f(π,3)＝2eq\r(3)，射线θ＝eq\f(π,3)与C2的交点B的极径为ρ2＝8sineq\f(π,3)＝4eq\r(3).所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2eq\r(3).
4.(2015·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝tsinα))(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2eq\r(3)cosθ.