【金榜教程】2014高考数学总复习 第5章 第5讲 数列的综合应用配套练习 理 新人教A版.doc

第五章第5讲

(时间：45分钟分值：100分)
一、选择题
1.[2013·合肥四校质检]已知等差数列{an}中，a7＝eq\f(π,4)，则tan(a6＋a7＋a8)等于()
A.－eq\f(\r(3),3) B.－eq\r(3)
C.－1 D.1
答案：C
解析：由等差中项的性质得a6＋a7＋a8＝3a7＝eq\f(3π,4)，故
tan(a6＋a7＋a8)＝taneq\f(3π,4)＝－1.
2.[2013·郑州质检]在等比数列an中，若a4，a8是方程x2－4x＋3＝0的两根，则a6的值是()
A.－eq\r(3) B.eq\r(3)
C.±eq\r(3) D.±3
答案：B
解析：由题意知，a4＋a8＝4，a4·a8＝3.
∴a4>0，a8>0，∴a6>0.
又aeq\o\al(2,6)＝a4·a8＝3，∴a6＝eq\r(3).
3.[2013·平顶山模拟]已知等差数列{an}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则eq\f(a1＋a5＋a9,a2＋a3)＝()
A.2 B.3
C.5 D.6
答案：B
解析：∵a2，a4，a8成等比数列，∴aeq\o\al(2,4)＝a2a8，即(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，∴a1＝d，∴eq\f(a1＋a5＋a9,a2＋a3)＝eq\f(3a1＋12d,2a1＋3d)＝3.
4.[2013·杭州二检]正项等比数列{an}中，存在两项am，an(m，n∈N*)使得eq\r(aman)＝4a1，且a7＝a6＋2a5，则eq\f(1,m)＋eq\f(5,n)的最小值是()
A.eq\f(7,4) B.1＋eq\f(\r(5),3)
C.eq\f(25,6) D.eq\f(2\r(5),3)
答案：B
解析：根据题意，a7＝a6＋2a5，∴q2＝q＋2，解得q＝－1或q＝2.∵an>0，∴q>0，∴q＝2.由eq\r(aman)＝4a1，即aeq\o\al(2,1)·qm＋n－2＝16aeq\o\al(2,1)得m＋n＝6.而eq\f(1,m)＋eq\f(5,n)＝eq\f(m＋n,6)(eq\f(1,m)＋eq\f(5,n))＝eq\f(1,6)＋eq\f(5m,6n)＋eq\f(n,6m)＋eq\f(5,6)≥eq\f(1,6)＋eq\f(\r(5),3)＋eq\f(5,6)＝1＋eq\f(\r(5),3)，故选B.
5.[2013·银川质检]若数列{an}满足eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为“调和数列”，已知正项数列{eq\f(1,bn)}为“调和数列”，且b1＋b2＋…＋b9＝90，则b4·b6的最大值是()
A.10 B.100
C.200 D.400
答案：B
解析：由定义：{eq\f(1,bn)}为“调和数列”，∴bn＋1－bn＝d.
∴{bn}为等差数列，∵b1＋b2＋…＋b9＝9b5＝90，
∴b5＝10，b4＋b6＝2b5＝20.
∴b4·b6≤(eq\f(b4＋b6,2))2＝100.
当且仅当b4＝b6时取等号．
6.已知一个数列{an}的各项是1或2，首项为1，且在第k个1和第(k＋1)个1之间有(2k－1)个2，即1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1，…，则前2012项中1的个数为()
A.44 B.45
C.46 D.47
答案：B
解析：依题意得，第k个1和它后面(2k－1)个2的个数之和为2k，按这个要求分组，每组数字的个数组成一个以2为首项、2为公差的等差数列，该数列的前n项和等于eq\f(n2＋2n,2)＝n(n＋1)．注意到2012＝44×45＋32，因此在题中的数列中，前2012项中共有45个1，选B.
二、填空题
7.已知数列{2n－1·an}的前n项和Sn＝9＋2n，则数列{an}的通项公式为an＝________.
答案：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(11，n＝1,22－n，n≥2))
解析：∵Sn＝9＋2n①，∴n≥2时，Sn－1＝9＋2(n－1)②，①－②得2n－1an＝2，∴an＝eq\f(2,2n－1)＝22－n.n＝1时，a1＝21－1·a1＝S1＝9＋2＝11，不符合上式，∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(11，n＝1,22－n，n≥2)).
8.[2013·辽宁六校联考]某人