高考数学中的数列综合题选讲.doc

高考中的数列综合题选讲
1.（2006陕西文、理）已知正项数列，其前n项和Sn满足10Sn=＋5an＋6，且a1，a3，a15成等比数列，求数列的通项an.

解:∵10Sn=an2+5an+6,①∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3.
又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2),②
由①－②得10an=(an2－an－12)+6(an－an－1),即(an+an－1)(an－an－1－5)=0
∵an+an－1>0,∴an－an－1=5(n≥2).
当a1=3时,a3=13,a15=73.a1,a3,a15不成等比数列∴a1≠3;
当a1=2时,a3=12,a15=72,有a32=a1a15,∴a1=2,∴an=5n－3.

2.（2007山东理）设数列满足a1+3a2+32a3+…+3n-1an=.(Ⅰ)求数列的通项；
（Ⅱ）设bn=，求数列的前n项和Sn.

解:(I)

验证时也满足上式，
(II)，

，

3.（2006全国Ⅰ卷理）设数列的前项的和，，
（Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，证明：

解:(Ⅰ)由Sn=eq\f(4,3)an－eq\f(1,3)×2n+1+eq\f(2,3),n=1,2,3，…,①得a1=S1=eq\f(4,3)a1－eq\f(1,3)×4+eq\f(2,3)所以a1=2.
再由①有Sn－1=eq\f(4,3)an－1－eq\f(1,3)×2n+eq\f(2,3),n=2,3，4,…
将①和②相减得:an=Sn－Sn－1=eq\f(4,3)(an－an－1)－eq\f(1,3)×(2n+1－2n),n=2,3,…
整理得:an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3,…,
因而数列{an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即:
an+2n=4×4n－1=4n,n=1,2,3,…,因而an=4n－2n,n=1,2,3,…,
(Ⅱ)将an=4n－2n代入①得Sn=eq\f(4,3)×(4n－2n)－eq\f(1,3)×2n+1+eq\f(2,3)=eq\f(1,3)×(2n+1－1)(2n+1－2)
=eq\f(2,3)×(2n+1－1)(2n－1)
Tn=eq\f(2n,Sn)=eq\f(3,2)×eq\f(2n,(2n+1－1)(2n－1))=eq\f(3,2)×(eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n+1－1))
所以,=eq\f(3,2)eq\f(1,2i－1)－eq\f(1,2i+1－1))=eq\f(3,2)×(eq\f(1,21－1)－eq\f(1,2i+1－1))<eq\f(3,2)

4．（2005湖北文）设数列的前n项和为Sn=2n2，为等比数列，且
（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前n项和Tn.

解：（1）：当

故{an}的通项公式为的等差数列.
设{bn}的公比为
故
（II）

两式相减得

5.(1994全国文)设数列｛an｝的前n项和为Sn,若对于所有的自然数n,都有
证明｛an｝是等差数列.

证法一：令d=a2－a1.
下面用数学归纳法证明an=a1+(n－1)d(n∈N).
(1)当n=1时上述等式为恒等式a1=a1.
当n=2时，a1+(2－1)d=a1+(a2－a1)=a2，等式成立.
(2)假设当n=k(k≥2)时命题成立，ak=a1+(k－1)d.由题设，有
Sk=，Sk+1=，又Sk+1=Sk+ak+1
∴(k+1)
把ak=a1+(k－1)d代入上式，得
(k+1)(a1+ak+1)=2ka1+k(k－1)d+2ak+1.
整理得(k－1)ak+1=(k－1)a1+k(k－1)d.
∵k≥2，∴ak+1=a1+kd.即当n=k+1时等式成立.
由(1)和(2)，等式对所有的自然数n成立，从而{an}是等差数列.
证法二：当n≥2时，由题设，
，.
所以an=Sn－Sn－1=－
同理有
an+1=－.
从而an+1－an=－n(a1+an)+，
整理得an+1－an=an－an－1=…=a2－a1
从而{an}是等差数列.

6.（2006福建文）已知数列满足
（I）证明：数列是等比数列； （II）求数列的通项公式；
（Ⅲ）若数列满足证明是等差数列。
（I）证明：

是以为首项，2为公比的等比数列。
（II）解：由（I）得

（III）证明：

①
②
②－①，得
即③
④
④－③，得
即

是等差数列。

7．（2004全国Ⅰ卷理）已知数列，且a2k=a2