高二数学直线与圆的位置关系（二）（文）人教实验版（A）知识精讲.doc

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高二数学直线与圆的位置关系（二）（文）人教实验版（A）
【本讲教育信息】
一.教学内容：
直线与圆的位置关系（二）

二.重点、难点：
1.相交弦定理
2.割线定理
3.切割线定理
4.切线长定理

【典型例题】
[例1]如图，⊙O是直角三角形的直角边AB为直径的圆ED与⊙O切于D，求证：
。

证明：连结OD、BD∵EB、ED都是⊙O的切线∴EB=ED又EO=EO
∠EBO=∠EDO=90°∴△EBO≌△EDO∴∠1=∠2
∵∠A=∠DOB=∠1，AO=OB∴EOCA∵OB=OD，∠1=∠2
∴BD⊥OE∴BD⊥CA又AB⊥BC∴△ABC∽△BDC
∴即

[例2]如图，AB是半圆的直径，E是上任意一点，过E作半圆的切线CD，分别过A，B作半圆的切线交CD于C、D两点，连结AD，BC交于P点，连结EP且延长交AB于F点，求证：EP=FP。

证明：∵CA、CE是⊙O的切线∴CA=CE同理DE=DB
∵CA是切线且AB为直径∴CA⊥AB同理DB⊥AB
∴CA//DB∴△CAP∽△BDP∴∴
∴EP//CA∴同理∴CA//EF//DB
∴∴∴EP=FP

[例3]如图所示，已知：P为正△ABC外接圆上一点，连结PB，PC和PA，D是PA和BC的交点。求证：。

证明：在△PBD和△CAD中，∵∠PBD=∠CAD∠PDB=∠CDA
∴△PBD∽△CAD∴同理可证
∴∴AB=AC=BC，BC=BD+DC
∴∴

[例4]如图，已知O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，且∠I+∠BOC=180°，求∠BAC。

解：∵∠BOC=2∠A∠BIC=90°+∴90°++2∠A=180°
5∠A=180°∠A=36°

[例5]如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足为D，求证：AC平分∠BAD。

证明：连结BC∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90°∴∠B+∠CAB=90°
∵AD⊥CE∴∠ADC=90°∴∠ACD+∠DAC=90°
∵AC是弦，且CE和⊙O切于点C∴∠ACD=∠B∴∠DAC=∠CAB
∴AC平分∠BAD

[例6]已知：如图，⊙O和⊙O′都经过A、B两点，AC是⊙O′的切线交⊙O于点C，AD是⊙O的切线交⊙O′于点D，求证：。

证明：∵∠C=∠1∠2=∠D∴△ACB∽△DAB∴
∴

[例7]已知：如图，⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B，PA=6cm，AB=cm，PO=12cm，求⊙O的半径。

解：设⊙O的半径为r，PO和它的延长线交⊙O于C、D
根据切割线定理的推论，有
∵PB=PA+AB=PC=PO－CO=PD=PO+DO=12+r
∴
∴⊙O的半径为8cm

[例8]已知：如图所示，在△ABC中，∠A=15°，∠ACB=90°，BC=1，O为AC上一点，以O为圆心，OC为半径的半圆交AB于E、F两点，且E为AB的中点，D为半圆与AC的另一交点。
（1）求CF的长；
（2）求BF的长；
（3）求证：AD是方程的一个根。

解：（1）连结CE∵E是的斜边AB的中点∴CE=AE
∴∠ECA=∠A=15°∴∠FEC=30°
由题意可知，BC垂直于⊙O的半径OC∴BC与⊙O相切于点C
∴∠BCF=∠FEC=30°∵∠B=90°－∠A=75°
∴∠BFC=180°－（∠B+∠BCF）=180°－（75°+30°）=75°
∴∠B=∠BFC∴CF=BC=1
（2）连结OE、OF∵OC=OF∠COF=2∠FEC=60°
∴△COF是正△∴OC=OF=CF=1
∵∠ECF=90°－（∠BCF+∠ECA）=90°－（30°+15°）=45°
∴∠EOF=2∠ECF=2×45°=90°
∴△EOF是等腰直角三角形∴EF=
由切割线定理得
∴即
解得，（舍）
（3）∵
∴∵AF=AE+EF=
∴
根据切割线定理
即∴
∴AD是方程的一个根

[例9]已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12cm和16cm两段第二条弦的长为32cm，求第二条弦被交点分成的两段的长。
解：设第二条弦被交点分成的一段长为xcm，则另一段长为
根据相交弦定理有

另一段或
另一条弦被交点分成的两段长分别为8cm，24cm。

[例10]如图所示，⊙O分别切AB、AC于E、F，且交BC于M，N两点，∠A=90°，∠B=∠C，EB=1，△ABC的面积为S1，⊙O的面积为S2，。
（1）求证：BM=NC；（2）求BM。

证明：（1）连结AO交BC于D∵AB、AC都是⊙O的切线
∴∠DAB=∠OAC∵∠B=∠C∴AB=AC∴AO是BC的垂直平分线
∴BD=DC∵OD⊥MN∴MD=DN∴BM=NC
（2）连结OE、OF，则四边形AEOF是四边形，设AE=x，则AB=x+1
S1=S2=
或