高二数学直线与圆的位置关系（二）（文）人教实验版（A）知识精讲.doc

用心爱心专心高二数学直线与圆的位置关系（二）（文）人教实验版（A）【本讲教育信息】一.教学内容：直线与圆的位置关系（二）二.重点、难点：1.相交弦定理2.割线定理3.切割线定理4.切线长定理【典型例题】[例1]如图，⊙O是直角三角形的直角边AB为直径的圆ED与⊙O切于D，求证：。证明：连结OD、BD∵EB、ED都是⊙O的切线∴EB=ED又EO=EO∠EBO=∠EDO=90°∴△EBO≌△EDO∴∠1=∠2∵∠A=∠DOB=∠1，AO=OB∴EOCA∵OB=OD，∠1=∠2∴BD⊥OE∴BD⊥CA又AB⊥BC∴△ABC∽△BDC∴即[例2]如图，AB是半圆的直径，E是上任意一点，过E作半圆的切线CD，分别过A，B作半圆的切线交CD于C、D两点，连结AD，BC交于P点，连结EP且延长交AB于F点，求证：EP=FP。证明：∵CA、CE是⊙O的切线∴CA=CE同理DE=DB∵CA是切线且AB为直径∴CA⊥AB同理DB⊥AB∴CA//DB∴△CAP∽△BDP∴∴∴EP//CA∴同理∴CA//EF//DB∴∴∴EP=FP[例3]如图所示，已知：P为正△ABC外接圆上一点，连结PB，PC和PA，D是PA和BC的交点。求证：。证明：在△PBD和△CAD中，∵∠PBD=∠CAD∠PDB=∠CDA∴△PBD∽△CAD∴同理可证∴∴AB=AC=BC，BC=BD+DC∴∴[例4]如图，已知O是△ABC的外心，I是△ABC的内心，且∠I+∠BOC=180°，求∠BAC。解：∵∠BOC=2∠A∠BIC=90°+∴90°++2∠A=180°5∠A=180°∠A=36°[例5]如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD⊥CE，垂足为D，求证：AC平分∠BAD。证明：连结BC∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90°∴∠B+∠CAB=90°∵AD⊥CE∴∠ADC=90°∴∠ACD+∠DAC=90°∵AC是弦，且CE和⊙O切于点C∴∠ACD=∠B∴∠DAC=∠CAB∴AC平分∠BAD[例6]已知：如图，⊙O和⊙O′都经过A、B两点，AC是⊙O′的切线交⊙O于点C，AD是⊙O的切线交⊙O′于点D，求证：。证明：∵∠C=∠1∠2=∠D∴△ACB∽△DAB∴∴[例7]已知：如图，⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B，PA=6cm，AB=cm，PO=12cm，求⊙O的半径。解：设⊙O的半径为r，PO和它的延长线交⊙O于C、D根据切割线定理的推论，有∵PB=PA+AB=PC=PO－CO=PD=PO+DO=12+r∴∴⊙O的半径为8cm[例8]已知：如图所示，在△ABC中，∠A=15°，∠ACB=90°，BC=1，O为AC上一点，以O为圆心，OC为半径的半圆交AB于E、F两点，且E为AB的中点，D为半圆与AC的另一交点。（1）求CF的长；（2）求BF的长；（3）求证：AD是方程的一个根。解：（1）连结CE∵E是的斜边AB的中点∴CE=AE∴∠ECA=∠A=15°∴∠FEC=30°由题意可知，BC垂直于⊙O的半径OC∴BC与⊙O相切于点C∴∠BCF=∠FEC=30°∵∠B=90°－∠A=75°∴∠BFC=180°－（∠B+∠BCF）=180°－（75°+30°）=75°∴∠B=∠BFC∴CF=BC=1（2）连结OE、OF∵OC=OF∠COF=2∠FEC=60°∴△COF是正△∴OC=OF=CF=1∵∠ECF=90°－（∠BCF+∠ECA）=90°－（30°+15°）=45°∴∠EOF=2∠ECF=2×45°=90°∴△EOF是等腰直角三角形∴EF=由切割线定理得∴即解得，（舍）（3）∵∴∵AF=AE+EF=∴根据切割线定理即∴∴AD是方程的一个根[例9]已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12cm和16cm两段第二条弦的长为32cm，求第二条弦被交点分成的两段的长。解：设第二条弦被交点分成的一段长为xcm，则另一段长为根据相交弦定理有另一段或另一条弦被交点分成的两段长分别为8cm，24cm。[例10]如图所示，⊙O分别切AB、AC于E、F，且交BC于M，N两点，∠A=90°，∠B=∠C，EB=1，△ABC的面积为S1，⊙O的面积为S2，。（1）求证：BM=NC；（2）求BM。证明：（1）连结AO交BC于D∵AB、AC都是⊙O的切线∴∠DAB=∠OAC∵∠B=∠C∴AB=AC∴AO是BC的垂直平分线∴BD=DC∵OD⊥MN∴MD=DN∴BM=NC（2）连结OE、OF，则四边形AEOF是四边形，设AE=x，则AB=x+1S1=S2=或（舍去）∴AE=4AB=5BC=设BM=y，由切割线定理得即解得或（舍去）∴【模拟试题】1.给出下列说法：①和圆有一个公共点的直线是圆的切线；②和半径垂直的直线是圆的切线；③到圆心的距离等于这个圆的半径的直线是圆的切线