2013高考数学一轮复习 第五篇平面向量第3讲 平面向量的数量积教案 理.doc

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第3讲平面向量的数量积

【2013年高考会这样考】
1．考查平面向量数量积的运算．
2．考查利用数量积求平面向量的夹角、模．
3．考查利用数量积判断两向量的垂直关系．
【复习指导】
本讲复习时，应紧扣平面向量数量积的定义，理解其运算法则和性质，重点解决平面向量的数量积的有关运算，利用数量积求解平面向量的夹角、模，以及两向量的垂直关系．

基础梳理
1．两个向量的夹角

已知两个非零向量a和b(如图)，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
2．两个向量的数量积的定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
3．向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的数量积．
4．向量数量积的性质
设a、b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则
(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ；
(2)a⊥b⇔a·b＝0；
(3)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别的，a·a＝|a|2或者|a|＝eq\r(a·a)；
(4)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)；
(5)|a·b|≤|a||b|.
5．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a；
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
6．平面向量数量积的坐标运算
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ，则
(1)a·b＝x1x2＋y1y2；
(2)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))；
(3)cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))；
(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
7．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，则|a|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)(平面内两点间的距离公式)．

一个条件
两个向量垂直的充要条件：a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
两个探究
(1)若a·b＞0，能否说明a和b的夹角为锐角？
(2)若a·b＜0，能否说明a和b的夹角为钝角？
三个防范
(1)若a，b，c是实数，则ab＝ac⇒b＝c(a≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a，b，c若满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．
(2)数量积运算不适合结合律，即(a·b)c≠a(b·c)，这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，a(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(a·b)c与a(b·c)不一定相等．
(3)向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))的夹角应为120°，而不是60°.
双基自测
1．(人教A版教材习题改编)已知|a|＝3，|b|＝2，若a·b＝－3，则a与b的夹角为()．
A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,4)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(3π,4)
解析设a与b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－3,3×2)＝－eq\f(1,2).又0≤θ≤π，∴θ＝eq\f(2π,3).
答案C
2．若a，b，c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是()．
A．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) B．(a＋b)·c＝a·c＋b·c
C．m(a＋b)＝ma＋mb D．(a·b)·c＝a·(b·c)
答案D
3．(2011·广东)若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝()．
A．4B．3C．2D．0
解析由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.
答案D
4．已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于()．
A．9B．4C．0D．－4
解析a－b＝(1－x,4)．
由a⊥(a－b)，得1－x＋8＝0.
∴x