高考数学一轮复习 第五篇 平面向量 第3讲 平面向量的数量积教案 理 新人教版 试题.doc

第3讲平面向量的数量积【2013年高考会这样考】1．考查平面向量数量积的运算．2．考查利用数量积求平面向量的夹角、模．3．考查利用数量积判断两向量的垂直关系．【复习指导】本讲复习时应紧扣平面向量数量积的定义理解其运算法则和性质重点解决平面向量的数量积的有关运算利用数量积求解平面向量的夹角、模以及两向量的垂直关系．基础梳理1．两个向量的夹角已知两个非零向量a和b(如图)作eq\o(OA\s\up6(→))＝aeq\o(OB\s\up6(→))＝b则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角当θ＝0°时a与b同向；当θ＝180°时a与b反向；如果a与b的夹角是90°我们说a与b垂直记作a⊥b.2．两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a与b它们的夹角为θ则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)记作a·b即a·b＝|a||b|cosθ规定零向量与任一向量的数量积为0即0·a＝0.3．向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的数量积．4．向量数量积的性质设a、b都是非零向量e是单位向量θ为a与b(或e)的夹角．则(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ；(2)a⊥b⇔a·b＝0；(3)当a与b同向时a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时a·b＝－|a||b|特别的a·a＝|a|2或者|a|＝eq\r(a·a)；(4)cosθ＝eq\f(a·b|a||b|)；(5)|a·b|≤|a||b|.5．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.6．平面向量数量积的坐标运算设向量a＝(x1y1)b＝(x2y2)向量a与b的夹角为θ则(1)a·b＝x1x2＋y1y2；(2)|a|＝eq\r(x\o\al(21)＋y\o\al(21))；(3)cos〈ab〉＝eq\f(x1x2＋y1y2\r(x\o\al(21)＋y\o\al(21))\r(x\o\al(22)＋y\o\al(22)))；(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.7．若A(x1y1)B(x2y2)eq\o(AB\s\up6(→))＝a则|a|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)(平面内两点间的距离公式)．一个条件两个向量垂直的充要条件：a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.两个探究(1)若a·b＞0能否说明a和b的夹角为锐角？(2)若a·b＜0能否说明a和b的夹角为钝角？三个防范(1)若abc是实数则ab＝ac⇒b＝c(a≠0)；但对于向量就没有这样的性质即若向量abc若满足a·b＝a·c(a≠0)则不一定有b＝c即等式两边不能同时约去一个向量但可以同时乘以一个向量．(2)数量积运算不适合结合律即(a·b)c≠a(b·c)这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量a(b·c)表示一个与a共线的向量而a与c不一定共线因此(a·b)c与a(b·c)不一定相等．(3)向量夹角的概念要领会比如正三角形ABC中eq\o(AB\s\up6(→))与eq\o(BC\s\up6(→))的夹角应为120°而不是60°.双基自测1．(人教A版教材习题改编)已知|a|＝3|b|＝2若a·b＝－3则a与b的夹角为()．A.eq\f(π3)B.eq\f(π4)C.eq\f(2π3)D.eq\f(3π4)解析设a与b的夹角为θ则cosθ＝eq\f(a·b|a||b|)＝eq\f(－33×2)＝－eq\f(12).又0≤θ≤π∴θ＝eq\f(2π3).答案C2．若abc为任意向量m∈R则下列等式不一定成立的是()．A．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)B．(a＋b)·c＝a·c＋b·cC．m(a＋b)＝ma＋mbD．(a·b)·c＝a·(b·c)答案D3．(2011·广东)若向量abc满足a∥b且a⊥c则c·(a＋2b)＝()．A．4B．3C．2D．0解析由a∥b及a⊥c得b⊥c则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0.答案D4．已知向量a＝(12)向量b＝(x－2)且a⊥(a－b)则实数x等于()．A．9B．4C．0D．－4解析a－b＝(1－x4)．由a⊥(a－b)得1－x＋8＝0.∴x＝9.答案A5．(2011·江西)已知|a|＝|b|＝2(a＋2b)·(a－b)＝－2则a与b的夹角为________．解析由|a|