高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算学案 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学学案.doc

3.1空间向量及其运算
3.1.1空间向量及其加减运算
3.1.2空间向量的数乘运算
学习目标：1.理解空间向量的概念．(难点)2.掌握空间向量的线性运算．(重点)3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用．(重点、难点)
[自主预习·探新知]
1．空间向量
(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．
(2)长度或模：向量的大小．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：eq\o(AB,\s\up7(→))，其模记为|a|或|eq\o(AB,\s\up7(→))|.
2．几类常见的空间向量
名称方向模记法零向量任意00单位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：－a
eq\o(AB,\s\up7(→))的相反向量：eq\o(BA,\s\up7(→))相等向量相同相等a＝b3.向量的加法、减法
空间向量的运算加法eq\o(OB,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))＝a＋b减法eq\o(CA,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OC,\s\up7(→))＝a－b加法运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)4.空间向量的数乘运算
(1)定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．
(2)运算律：①λ(a＋b)＝λa＋λb；②λ(μa)＝(λμ)a.
5．共线向量和共面向量
(1)共线向量
①定义：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．
②共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.
③点P在直线AB上的充要条件：存在实数t，使eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋teq\o(AB,\s\up7(→)).
(2)共面向量
①定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．
②共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
③空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y),使eq\o(AP,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))或对空间任意一点O，有eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→)).
思考：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？
(2)若空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up7(→))，则点P与点A，B，C是否共面？
[提示](1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量．
(2)由eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up7(→))得eq\o(OP,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))＋eq\f(1,3)(eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))
即eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))，因此点P与点A，B，C共面．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)共线向量一定是共面向量，但共面向量不一定是共线向量．()
(2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量．()
(3)如果eq\o(OP,\s