高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算学案 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学学案.doc

3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算学习目标：1.理解空间向量的概念．(难点)2.掌握空间向量的线性运算．(重点)3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．空间向量(1)定义：在空间具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母abc…表示；若向量a的起点是A终点是B也可记作：eq\o(AB\s\up7(→))其模记为|a|或|eq\o(AB\s\up7(→))|.2．几类常见的空间向量名称方向模记法零向量任意00单位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：－aeq\o(AB\s\up7(→))的相反向量：eq\o(BA\s\up7(→))相等向量相同相等a＝b3.向量的加法、减法空间向量的运算加法eq\o(OB\s\up7(→))＝eq\o(OA\s\up7(→))＋eq\o(OC\s\up7(→))＝a＋b减法eq\o(CA\s\up7(→))＝eq\o(OA\s\up7(→))－eq\o(OC\s\up7(→))＝a－b加法运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)4.空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量称为向量的数乘运算．当λ>0时λa与向量a方向相同；当λ<0时λa与向量a方向相反；当λ＝0时λa＝0；λa的长度是a的长度的|λ|倍．(2)运算律：①λ(a＋b)＝λa＋λb；②λ(μa)＝(λμ)a.5．共线向量和共面向量(1)共线向量①定义：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合则这些向量叫做共线向量或平行向量．②共线向量定理：对于空间任意两个向量ab(b≠0)a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.③点P在直线AB上的充要条件：存在实数t使eq\o(OP\s\up7(→))＝eq\o(OA\s\up7(→))＋teq\o(AB\s\up7(→)).(2)共面向量①定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．②共面向量定理：若两个向量ab不共线则向量p与向量ab共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(xy)使p＝xa＋yb.③空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(xy)使eq\o(AP\s\up7(→))＝xeq\o(AB\s\up7(→))＋yeq\o(AC\s\up7(→))或对空间任意一点O有eq\o(OP\s\up7(→))＝eq\o(OA\s\up7(→))＋xeq\o(AB\s\up7(→))＋yeq\o(AC\s\up7(→)).思考：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？(2)若空间任意一点O和不共线的三点ABC满足eq\o(OP\s\up7(→))＝eq\f(13)eq\o(OA\s\up7(→))＋eq\f(13)eq\o(OB\s\up7(→))＋eq\f(13)eq\o(OC\s\up7(→))则点P与点ABC是否共面？[提示](1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内成为同一个平面的两个向量因此一定是共面向量．(2)由eq\o(OP\s\up7(→))＝eq\f(13)eq\o(OA\s\up7(→))＋eq\f(13)eq\o(OB\s\up7(→))＋eq\f(13)eq\o(OC\s\up7(→))得eq\o(OP\s\up7(→))－eq\o(OA\s\up7(→))＝eq\f(13)(eq\o(OB\s\up7(→))－eq\o(OA\s\up7(→)))＋eq\f(13)(eq\o(OC\s\up7(→))－eq\o(OA\s\up7(→)))即eq\o(AP\s\up7(→))＝eq\f(13)eq\o(AB\s\up7(→))＋eq\f(13)eq\o(AC\s\up7(→))因此点P与点ABC共面．[基础自测]1．思考辨析(1)共线向量一定是共面向量但共面向量不一定是共线向量．()(2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线则这两个向量不是共面向量．()(3)如果eq\o(OP\s\up7(→))＝eq\o(OA\s\up7(→))＋teq\o(AB\s\up7(→))则