（课标通用）高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数与函数的单调性、极值、最值学案 理-人教版高三全册数学学案.doc

§3.2导数与函数的单调性、极值、最值
考纲展示►1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间．
2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值．
3．会用导数解决实际问题．
考点1利用导数研究函数的单调性

函数的单调性与导数
在(a，b)内的可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.
f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为________．
f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为________．
答案：增函数减函数

(1)[教材习题改编]函数f(x)＝ex－2x的单调递增区间是________．
答案：(ln2，＋∞)
(2)[教材习题改编]求f(x)＝x＋cosx，x∈R的单调区间．
解：f′(x)＝1－sinx≥0，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，
即(－∞，＋∞)是f(x)的单调递增区间．

导数符号与单调性．
已知函数f(x)＝x3－ax2＋ax是R上的增函数，则实数a的取值范围为__________．
答案：[0,3]
解析：依题意，f′(x)＝3x2－2ax＋a≥0恒成立，所以Δ＝4a2－12a≤0，解得0≤a≤3.

[典题1]设函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(a,2)x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(1)求b，c的值；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内为单调递减函数，求实数a的取值范围．
[解](1)f′(x)＝x2－ax＋b，
由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＝1，,f′0＝0))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c＝1，,b＝0.))
(2)由(1)，得f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)．
①当a＝0时，f′(x)＝x2≥0恒成立，即函数f(x)在(－∞，＋∞)内为单调增函数．
②当a>0时，由f′(x)>0得，x>a或x<0；
由f′(x)<0得，0<x<a.
即函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a)．
③当a<0时，由f′(x)>0得，x>0或x<a；
由f′(x)<0得，a<x<0.
即函数f(x)的单调递增区间为(－∞，a)，(0，＋∞)，单调递减区间为(a,0)．
(3)∵g′(x)＝f′(x)＋2＝x2－ax＋2，且g(x)在(－2，－1)上为减函数，
∴g′(x)≤0，即x2－ax＋2≤0在(－2，－1)上恒成立，
∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g′－2≤0，,g′－1≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＋2a＋2≤0，,1＋a＋2≤0，))
解得a≤－3，
即实数a的取值范围为(－∞，－3]．
[题点发散1]在本例(3)中，若g(x)的单调减区间为(－2，－1)，如何求解？
解：∵g(x)的单调减区间为(－2，－1)，
∴x1＝－2，x2＝－1是g′(x)＝0的两个根，
∴(－2)＋(－1)＝a，即a＝－3.
[题点发散2]在本例(3)中，若g(x)在区间(－2，－1)上存在单调递减区间，如何求解？
解：g′(x)＝x2－ax＋2，
依题意，存在x∈(－2，－1)，使不等式g′(x)＝x2－ax＋2<0成立，
即当x∈(－2，－1)时，a<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x)))max＝－2eq\r(2)，
当且仅当x＝eq\f(2,x)即x＝－eq\r(2)时等号成立．
所以满足要求的a的取值范围是(－∞，－2eq\r(2))．
[题点发散3]在本例(3)中，若g(x)在区间(－2，－1)上不单调，如何求解？
解：∵g(x)在(－2，－1)上不单调，g′(x)＝x2－ax＋2，
∴g′(－2)·g′(－1)<0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2<\f(a,2)<－1，,Δ>0，,g′－2>0，,g′－1>0.))
由g′(－2)·g′(－1)<0，得(6＋2a)(3＋a)<0，无解．
由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2<\f(a,2)<－1，,Δ>0，,g′－2>0，,g′－1>0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4<a<－2，,a2－8>0，,6＋2a>0，,3＋a>0，))
即eq\b\lc\{\r