（新课标）高考数学二轮复习 专题二 数列 第2讲 数列的性质与求和学案 文 新人教A版-新人教A版高三全册数学学案.doc

第2讲数列的性质与求和

[做真题]
1．(2019·高考全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1≠0，a2＝3a1，则eq\f(S10,S5)＝________．
解析：设等差数列{an}的公差为d，由a2＝3a1，即a1＋d＝3a1，得d＝2a1，
所以eq\f(S10,S5)＝eq\f(10a1＋\f(10×9,2)d,5a1＋\f(5×4,2)d)＝eq\f(10a1＋\f(10×9,2)×2a1,5a1＋\f(5×4,2)×2a1)＝eq\f(100,25)＝4.
答案：4
2．(2017·高考全国卷Ⅲ)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n＋1)))的前n项和．
解：(1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)．两式相减得(2n－1)an＝2，所以an＝eq\f(2,2n－1)(n≥2)．
又由题设可得a1＝2，
从而{an}的通项公式为an＝eq\f(2,2n－1)(n∈N*)．
(2)记{eq\f(an,2n＋1)}的前n项和为Sn.
由(1)知eq\f(an,2n＋1)＝eq\f(2,（2n＋1）（2n－1）)＝eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1).
则Sn＝eq\f(1,1)－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,5)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1)＝eq\f(2n,2n＋1).
[明考情]
1．高考对数列性质的考查主要以选择、填空题的形式出现，考查数列的周期性、单调性、数列最值等，难度中等．
2．高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现，通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的前n项和，难度中等偏下．

数列的性质(综合型)
[典型例题]
(1)已知数列{an}满足：an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，a1＝1，a2＝2，Sn为数列{an}的前n项和，则S2020＝()
A．3 B．2
C．1 D．0
(2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝eq\f(3,2)，an＋2an＋1＝0，则Sn－eq\f(1,Sn)的最大值与最小值的积为____________．
【解析】(1)因为an＋1＝an－an－1，a1＝1，a2＝2，所以a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，…，故数列{an}是周期为6的周期数列，且每连续6项的和为0，故S2020＝336×0＋a2017＋a2018＋a2019＋a2020＝a1＋a2＋a3＋a4＝3.
(2)因为an＋2an＋1＝0，所以eq\f(an＋1,an)＝－eq\f(1,2)，所以等比数列{an}的公比为－eq\f(1,2)，因为a1＝eq\f(3,2)，所以Sn＝eq\f(\f(3,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))\s\up12(n))),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\s\up12(n).
①当n为奇数时，Sn＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)，Sn随着n的增大而减小，则1＜Sn≤S1＝eq\f(3,2)，故0＜Sn－eq\f(1,Sn)≤eq\f(5,6)；
②当n为偶数时，Sn＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(n)，Sn随着n的增大而增大，则eq\f(3,4)＝S2≤Sn＜1，故－eq\f(7,12)≤Sn－eq\f(1,Sn)＜0.
综上，Sn－eq\f(1,Sn)的最大值与最小值分别为eq\f(5,6)，－eq\f(7,12).
故Sn－eq\f(1,Sn)的最大值与最小值的积为eq\f(5,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,12)))＝－eq\f(35,72).
【答案】(1)A(2)－eq\f(35,72)
eq\a\vs4\a