（新课标）高考数学二轮复习 专题二 数列 第2讲 数列的性质与求和学案 文 新人教A版-新人教A版高三全册数学学案.doc

第2讲数列的性质与求和[做真题]1．(2019·高考全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1≠0a2＝3a1则eq\f(S10S5)＝________．解析：设等差数列{an}的公差为d由a2＝3a1即a1＋d＝3a1得d＝2a1所以eq\f(S10S5)＝eq\f(10a1＋\f(10×92)d5a1＋\f(5×42)d)＝eq\f(10a1＋\f(10×92)×2a15a1＋\f(5×42)×2a1)＝eq\f(10025)＝4.答案：42．(2017·高考全国卷Ⅲ)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an2n＋1)))的前n项和．解：(1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n故当n≥2时a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)．两式相减得(2n－1)an＝2所以an＝eq\f(22n－1)(n≥2)．又由题设可得a1＝2从而{an}的通项公式为an＝eq\f(22n－1)(n∈N*)．(2)记{eq\f(an2n＋1)}的前n项和为Sn.由(1)知eq\f(an2n＋1)＝eq\f(2（2n＋1）（2n－1）)＝eq\f(12n－1)－eq\f(12n＋1).则Sn＝eq\f(11)－eq\f(13)＋eq\f(13)－eq\f(15)＋…＋eq\f(12n－1)－eq\f(12n＋1)＝eq\f(2n2n＋1).[明考情]1．高考对数列性质的考查主要以选择、填空题的形式出现考查数列的周期性、单调性、数列最值等难度中等．2．高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的前n项和难度中等偏下．数列的性质(综合型)[典型例题](1)已知数列{an}满足：an＋1＝an－an－1(n≥2n∈N*)a1＝1a2＝2Sn为数列{an}的前n项和则S2020＝()A．3B．2C．1D．0(2)已知等比数列{an}的前n项和为Sn若a1＝eq\f(32)an＋2an＋1＝0则Sn－eq\f(1Sn)的最大值与最小值的积为____________．【解析】(1)因为an＋1＝an－an－1a1＝1a2＝2所以a3＝1a4＝－1a5＝－2a6＝－1a7＝1a8＝2…故数列{an}是周期为6的周期数列且每连续6项的和为0故S2020＝336×0＋a2017＋a2018＋a2019＋a2020＝a1＋a2＋a3＋a4＝3.(2)因为an＋2an＋1＝0所以eq\f(an＋1an)＝－eq\f(12)所以等比数列{an}的公比为－eq\f(12)因为a1＝eq\f(32)所以Sn＝eq\f(\f(32)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12)))\s\up12(n)))1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12))))＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12)))eq\s\up12(n).①当n为奇数时Sn＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12)))eq\s\up12(n)Sn随着n的增大而减小则1＜Sn≤S1＝eq\f(32)故0＜Sn－eq\f(1Sn)≤eq\f(56)；②当n为偶数时Sn＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12)))eq\s\up12(n)Sn随着n的增大而增大则eq\f(34)＝S2≤Sn＜1故－eq\f(712)≤Sn－eq\f(1Sn)＜0.综上Sn－eq\f(1Sn)的最大值与最小值分别为eq\f(56)－eq\f(712).故Sn－eq\f(1Sn)的最大值与最小值的积为eq\f(56)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(712)))＝－eq\f(3572).【答案】(1)A(2)－eq\f(3572)eq\a\vs4\al()判断数列的增减性的方法函数法：构造函数通过判断所构造函数的增减性即可得出相应数列的增减性．定义法：利用