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分块矩阵逆矩阵的求法

矩阵的逆矩阵是线性代数中一个重要的概念。在实际应用中，分块

矩阵逆矩阵的求法也是经常遇到的问题。本文将介绍分块矩阵逆矩

阵的求法，并通过实例进行说明。

一、分块矩阵的定义和性质

分块矩阵是指将一个大的矩阵按照某种规则进行划分，形成多个小

的子矩阵，并将这些子矩阵按照一定的顺序排列在一个大的矩阵中。

分块矩阵的逆矩阵的求法与普通矩阵逆矩阵的求法有很大的不同。

对于普通的矩阵，可以使用行列式和伴随矩阵的方法求解。但是对

于分块矩阵，由于其特殊的结构，不能直接使用普通矩阵的逆矩阵

求法。

二、分块矩阵逆矩阵的求法

分块矩阵逆矩阵的求法可以分为两种情况：一种是分块对角矩阵的

逆矩阵求法，另一种是一般分块矩阵的逆矩阵求法。

1.分块对角矩阵的逆矩阵求法

分块对角矩阵是指矩阵的主对角线上的每个元素都是一个分块矩阵。

对于分块对角矩阵，其逆矩阵的求法相对简单。只需要对每个分块

矩阵求逆，然后按照与原矩阵相同的分块方式重新组合即可得到逆
矩阵。

2.一般分块矩阵的逆矩阵求法

一般分块矩阵的逆矩阵求法比较复杂，需要使用到分块矩阵的性质

和一些特殊的运算。具体求法如下：

（1）将一般分块矩阵表示为A=[A11,A12;A21,A22]，其中A11、

A12、A21、A22都是分块矩阵。

（2）首先求解A11的逆矩阵A11^(-1)。

（3）计算A22-A21A11^(-1)A12，记为M=A22-A21A11^(-

1)A12。

（4）求解M的逆矩阵M^(-1)。

（5）计算分块矩阵的逆矩阵A^(-1)=[A11^(-1)+A11^(-

1)A12M^(-1)A21A11^(-1),-A11^(-1)A12M^(-1);-M^(-

1)A21A11^(-1),M^(-1)]。

三、实例分析

为了更好地理解分块矩阵逆矩阵的求法，下面通过一个实例进行说

明。

设分块矩阵A=[A11,A12;A21,A22]，其中A11=[1,2;3,4]，
A12=[5;6]，A21=[7,8]，A22=9。

（1）求解A11的逆矩阵A11^(-1)。

根据普通矩阵逆矩阵的求法，可以得到A11^(-1)=[-2,1;3/2,

-1/2]。

（2）计算M=A22-A21A11^(-1)A12。

根据矩阵的运算法则，可以得到M=9-[7,8][-2,1][5;6]=

-27。

（3）求解M的逆矩阵M^(-1)。

由于M是一个标量矩阵，其逆矩阵为M^(-1)=-1/27。

（4）计算分块矩阵的逆矩阵A^(-1)。

根据分块矩阵逆矩阵的求法，可以得到A^(-1)=[A11^(-1)+

A11^(-1)A12M^(-1)A21A11^(-1),-A11^(-1)A12M^(-1);-M^(-

1)A21A11^(-1),M^(-1)]。

将A11^(-1)、A12、A21、A22、M^(-1)的值代入上述公式中，即可

求得分块矩阵A的逆矩阵A^(-1)的值。

通过以上实例可以看出，分块矩阵逆矩阵的求法相对复杂，需要运

用到矩阵的性质和一些特殊的运算。在实际应用中，如果遇到分块
矩阵的逆矩阵求解问题，可以根据分块矩阵的特点，采用相应的求

法进行求解。

总结

本文介绍了分块矩阵逆矩阵的求法。分块矩阵逆矩阵的求法根据矩

阵的特点，可以分为分块对角矩阵的逆矩阵求法和一般分块矩阵的

逆矩阵求法。在实际应用中，可以根据分块矩阵的结构和特点，选

择合适的求法进行求解。希望通过本文的介绍，读者对分块矩阵逆

矩阵的求法有所了解。