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初中数学竞赛辅导资料(28)

三角形的边角性质

甲内容提要

三角形边角性质主要的有：
1.边与边的关系是：任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边，反
过来要使三条线段能组成一个三角形，必须任意两条线段的和都大于第
三条线段，即最长边必须小于其他两边和。用式子表示如下：
abc
a,b,c是△ABC的边长bcaab＜cab
cab

推广到任意多边形：任意一边都小于其他各边的和

2.角与角的关系是：三角形三个内角和等于180；任意一个外角等于和

它不相邻的两个内角和。

推广到任意多边形：四边形内角和=2×180，五边形内角和=3×180

六边形内角和=4×180n边形内角和=(n－2)180

3.边与角的关系
①在一个三角形中，等边对等角，等角对等边；
大边对大角，大角对大边。
②在直角三角形中，

222
△ABC中∠C=Rt∠abc(勾股定理及逆定理)

CRt
△ABC中a：b：c=1：3：2
A30

CRt
△ABC中a：b：c=1：1：2
A45

乙例题
例1.要使三条线段3a－1,4a+1,12－a能组成一个三角形求a的取值范围。
(1988年泉州市初二数学双基赛题)
解：根据三角形任意两边和大于第三边，得不等式组

3a14a112aa1.5
4a112a3a1解得131∴1.5<a<5
12a3a14a1a5

答当1.5<a<5时，三条线段3a－1,4a+1,12－a能组成一个三角形
例2.如图
ABCD
AB=x，AC=y,AD=z若以AB和CD分别绕着点B和点C旋转，使点A
和D重合组成三角形，下列不等式哪些必须满足？
zzz
①x<,②y<x+,③y<
222
解由已知AB=x,BC=y－x,CD=z－x要使AB，BC，CD组成三角形，必
须满足下列不等式组：
z
y
xyxzy2yz2
z
xzyyx即2xz2y∴yx
2
yxzyxz2x
z
x
2
zz
答y<x+和y<必须满足。
22
例3.已知△ABC的三边都是正整数，a=5,b≤a≤c,符合条件的三角形
共有几个？试写出它们的边长。
解：由已知a=5，1≤b≤5，∵c<a+b,∴5≤c≤9
∴符合条件的三角形共有15个，(按b,a,c排列)
它们的边长是：155；255，256；355，356，357；455，456，457，458；
555，556，557，558，559。
例4.如图求角A，B，C，D，E，F的度数和
DA解：四边形EFMN的内角和=360度
∠1=∠A+∠B，∠2=∠C+∠D
∠1＋∠2＋∠E＋∠F＝360度
NM∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360度
B21C

F
E
例5.△ABC中，∠A≤∠B≤∠C，2∠C=5∠A，求∠B的取值范围
(1989年泉州市初二数学双基赛题)
解：根据题意，得

ABC
52
2C5A得∠C=(180－∠B)，∠A＝(180－∠B)
77
ABC180
25
∴(180－∠B)≤∠B≤(180－∠B)∴40≤∠B≤75
77
例6.在凸四边形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠A：∠B：∠C＝1：1：2
求各内角的度数
A
解：作∠BCD的平分线交AD于E，
13
△BCE≌△DCE（SAS）∴∠D＝∠CBED
△BCE≌△BAE（SSS）∴∠CBE＝∠ABE＝∠D4
B2
设∠D＝X度，则2X＋2X＋4X＋X＝360C

∴X＝40（度）答∠DAB＝∠ABC＝80，∠B∠D＝160，∠D＝40

丙练习28

1.△ABC中，a=5,b=7,则第三边c和第三边上的高hc的取值范围是＿＿

22
2.a,b,c是△ABC的三边长，化简(abc)(abc)得＿＿

3.已知△ABC的两边长a和b（a<b）,则这个三角形的周长L的取值范
是＿＿＿＿＿＿＿＿＿
4.三边长是连续正整数，周长不超过100的三角形共有＿＿＿个，按边长
的数字写出这些三角形＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（按由小到大的顺序排列，可用省略号）（1987年全国初中数学联赛题）
5.各边都是整数且周长小于13，符合条件的
①不等边三角形有___个，它们的边长是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿
②等腰三角形有______个，它们的边长是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
6.如果等腰三角形的周长为S，那么腰长X的适合范围是＿＿＿＿＿＿＿＿
7.四边形ABCD中，AB＝2，BC＝4，CD＝7，边AD的适合范围是＿＿＿
8.三角形不同顶点的三个外角中至少有___＿＿个钝角
（1986年泉州市初二数学双基赛题）
9.△ABC中，a>b>c,那么∠C的度数是范围＿＿＿＿＿＿＿＿
（1987年泉州市初二数学双基赛题）

10.△ABC中，∠C、∠B的平分线相交于O，∠BOC＝120，则∠A＝＿＿

11.△ABC中