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初中数学竞赛辅导资料(9)一元一次方程解的讨论甲内容提要方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元方程的解也叫做根。例如：方程2x＋6＝0x（x-1）=0|x|=60x=00x=2的解分别是：x=－3x=0或x=1x=±6所有的数无解。关于x的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b后讨论它的解：当a≠0时有唯一的解x=；当a=0且b≠0时无解；当a=0且b＝0时有无数多解。（∵不论x取什么值0x＝0都成立）3求方程ax=b(a≠0)的整数解、正整数解、正数解当a｜b时方程有整数解；当a｜b且a、b同号时方程有正整数解；当a、b同号时方程的解是正数。综上所述讨论一元一次方程的解一般应先化为最简方程ax=b乙例题a取什么值时方程a(a－2)x=4(a－2)①有唯一的解？②无解？③有无数多解？④是正数解？解：①当a≠0且a≠2时方程有唯一的解x=②当a=0时原方程就是0x=－8无解；③当a=2时原方程就是0x=0有无数多解④由①可知当a≠0且a≠2时方程的解是x=∴只要a与4同号即当a>0且a≠2时方程的解是正数。k取什么整数值时方程①k(x+1)=k－2（x－2）的解是整数？②（1－x）k=6的解是负整数？解：①化为最简方程（k＋2）x=4当k+2能整除4即k+2=±1±2±4时方程的解是整数∴k=－1－30－42－6时方程的解是整数。②化为最简方程kx=k－6当k≠0时x==1－只要k能整除6即k=±1±2±3±6时x就是整数当k=123时方程的解是负整数－5－2－1。例3己知方程a(x－2)=b(x+1)－2a无解。问a和b应满足什么关系？解：原方程化为最简方程：(a－b)x=b∵方程无解∴a－b=0且b≠0∴a和b应满足的关系是a=b≠0。例4a、b取什么值时方程（3x－2）a+（2x－3）b=8x－7有无数多解？解：原方程化为最简方程：（3a+2b－8）x=2a+3b－7根据0x＝0时方程有无数多解可知当时原方程有无数多解。解这个方程组得答当a=2且b=1时原方程有无数多解。丙练习（9）1根据方程的解的定义写出下列方程的解：(x+1)=0②x2=9③|x|=9④|x|=－3⑤3x+1=3x－1⑥x+2=2+x2关于x的方程ax=x+2无解那么a__________3在方程a(a－3)x=a中当a取值为＿＿＿＿时有唯一的解；当a＿＿＿时无解；当a＿＿＿＿＿时有无数多解；当a＿＿＿＿时解是负数。k取什么整数值时下列等式中的x是整数？x=②x=③x=④x=k取什么值时方程x－k=6x的解是①正数？②是非负数？m取什么值时方程3（m+x）=2m－1的解①是零？②是正数？己知方程的根是正数那么a、b应满足什么关系？m取什么整数值时方程的解是整数?己知方程有无数多解求a、b的值。初一下部分参参答案练习9①－1②±3③±9④无解⑤无解⑥无数多个解a=13.a≠3a≠0；a=3；a=0；a<3且a≠04.①k=±1±2±4②203－14－27－5③±1±3④4－50－2（）5.①k<0②k≤06.①m=－1②m＜－17.2a+b>08.化为最简方程mx=m+3当m=±1±3时有整数解9.化为最简方程(3a－b)x=b+2当时方程无解解得