混合分数布朗运动环境下的欧式期权定价.pdf

第２5卷第4期苏州科技学院学报（自然科学版）Ｖｏｌ．２5Ｎｏ．4
２００8年12月ＪｏｕｒｎａｌｏｆＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙｏｆＳｕｚｈｏｕ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）Dec．２００8
混合分数布朗运动环境下的欧式期权定价

余征，闫理坦
（东华大学理学院，上海201620）

摘要：基于混合分数布朗运动为金融市场驱动模型的情况下，给出了完备的混合型Black-Scholes市场下欧式看
涨期权的定价公式。
关键词：混合型分数布朗运动；拟条件期望；期权
中图分类号：O211.6ＭＲ（２０００）ＳｕｂｊｅｃｔＣｌａｓｓｉｆｉｃａｔｉｏｎ：60G15；60H05
文献标识码：Ａ文章编号：１６７２－０６８７（２００8）０4－０００4－０7

假设（Ω，F，μ）为一给定的完备概率空间，从回顾分数布朗运动的定义开始讨论。设0<H<1，具有Hurst

参数为的分数布朗运动是一连续高斯过程使得并且
H{BH（t），t≥0}BH（0）=0，E[BH（t）]=0，
E[B（t）B（s）]=1（t2H+s2H-|t-s|2H）t，s∈R
HH2+

H=1时，B（t）即为标准布朗运动。
2H
笔者将考虑由混合分数布朗运动（MixedfractionalBrownianmotion）驱动的金融市场，主要研究欧式看
涨期权的定价问题。所谓混合分数布朗运动就是两个独立分数布朗运动的线性组合

X（t，s）=σBH1（t）+εBH2（s）s，t≥0
分别是参数为与的两个独立的分数布朗运动文中仅考虑一个特殊的类型即一个分数布朗运
BH1，BH2H1H2。，
动与一个独立的布朗运动的线性组合
BHW

Z（t）=BH1（t）+εW（t）t≥0（1）

122
ε为任意实数。关于这类混合分数布朗运动的详细讨论见文献[1]、[2]。当H=时，Z等价于姨σ+εW；当
2

H
H≠1时，此过程为一个高斯过程；当0<H≤3时，σB+εW不是半鞅；特别值得注意的是，当H>3且ε>0
24tt4

时这种混合分数布朗运动等价于此外等人[3]已经证明这个过程在正则策略集中是无套利
ZεWt。，Bender：
的，并说明欧式期权均存在这样一个正则策略集将其进行套期保值[4]，因此，市场在此策略集下是完全的。这
也使得混合型分数布朗运动为驱动的金融市场更加具有实际意义。关于混合分数布朗运动的进一步问题及
性质见文献[5]。
文中主要考虑由混合分数布朗运动（1）驱动的随机微分方程

dX（t）=μX（t）dt+σX（t）dBH（t）+εX（t）dW（t）（2）
t
其中积分X（s）dB（s）为Wich-Ito赞型随机积分，其定义及其性质见文献[3]、[6]、[7]。易证明方程（2）存在唯一
乙H
0

强解，并且其解可以写成
————————————
[收稿日期]２００8－06－12
[基金项目]国家自然科学基金资助项目（10571025）；教育部重点项目资助课题（106076）
[作者简介]余征（１９84－），女，江西鹰潭人，硕士研究生，研究方向：随机分析及其应用。
第4期余征等：混合分数布朗运动环境下的欧式期权定价5

122H12
X（t）=X（0）expσBH（t）+εW（t）+μt-σt-εt（3）
2222

1几个与拟条件期望有关的结论

为对混合型分数布朗运动驱动的金融市场进行定价，首先建立几个简单的结论。
定理1对于每个0<t<T，及任意实数λ，μ，有

22H2H2
λB（T）+μW（T）+λ（T-t）+μ（T-t）
λB（T）+μW（T）H22
軒H
Et軒e軒=e（4）

其中軒表示在概率测度下的拟条件期望[3，6，8]
Et[·]μ。

证明考虑混合分数布朗运动驱动的微分方程易得
dX（t）=λX（t）dBH（t）+μX（t）dW（t），X（0）=1。

122H12
X（t）=expσBH（t）+μW（t）-σt-μt
2222

并且軒即
Et[X（T）]=X（t）。

σB（t）+μW（t）-1σ2T2H-1μ2t
σB（T）+μW（T）-1σ2T2H-1μ2TH22
軒H22
Et軒e軒=e
也即

22
λB（t）+μW（t）+λ（T2H-t2H）+μ（T-t）
λB（T）+μW（T）H22
軒H
Et軒e軒=e
证毕。
定理设为满足的函数则对于任意的
2fE[f（BH（T）]<∞，0≤t≤T

姨2姨
姨姨
姨（x-（λB（t）+μW（t））姨
軒1姨H姨
Et[f（λBH（T）+μW（T））]=exp姨-姨f（x）dx（5）
乙姨姨
R姨22H2H2姨
姨2π[λ2（T2H-t2H）+μ2（T-t）]姨2[λ（T-t）+μ（T-t）]姨

证明假设f赞为f的傅立叶变换，则f赞（ξ）=