高考数学大一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第12讲 函数模型及其应用课时达标 文（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学试题.doc

第12讲函数模型及其应用
课时达标
一、选择题
1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y(单位：台)与投放市场的月数x之间关系的是()
A．y＝100x
B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x
D．y＝100log2x＋100
C解析根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可得C项正确．
2．世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是(参考数据lg2≈0.3010,100.0075≈1.017)()
A．1.5% B．1.6%
C．1.7% D．1.8%
C解析设每年世界人口平均增长率为x，则(1＋x)40＝2，两边取以10为底的对数，则40lg(1＋x)＝lg2，所以lg(1＋x)＝eq\f(lg2,40)≈0.0075，所以100.0075＝1＋x，得1＋x＝1.017，所以x＝1.7%.
3．国家规定某行业征税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按(p＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(缴税比例＝\f(纳税额,年收入)))为(p＋0.25)%，则该公司的年收入是()
A．560万元 B．420万元
C．350万元 D．320万元
D解析设该公司的年收入为x万元，纳税额为y万元，则根据题意，可以得到y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x×p%，x≤280，,280×p%＋x－280×p＋2%，x>280，))依题意有eq\f(1,x)[280×p%＋(x－280)×(p＋2)%]＝(p＋0.25)%，解得x＝320.
4．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为()

A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14
A解析由三角形相似得eq\f(24－y,24－8)＝eq\f(x,20)得x＝eq\f(5,4)(24－y)，所以S＝xy＝－eq\f(5,4)(y－12)2＋180，所以当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.检验符合题意．
5．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份两食堂的营业额又相等，则本年5月份()
A．甲食堂的营业额较高
B．乙食堂的营业额较高
C．甲、乙两食堂的营业额相同
D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高
A解析设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a>0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x，由题意可得m＋8a＝m×(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m×(1＋x)4＝eq\r(mm＋8a)，因为yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2>0，所以y1>y2，故本年5月份甲食堂的营业额较高．
6．某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用)．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为()
A．3000元 B．3300元
C．3500元 D．4000元
B解析由题意，设利润为y元，租金定为3000＋50x元(0≤x≤70，x∈N)．则y＝(3000＋50x)(70－x)－100(70－x)＝(2900＋50x)(70－x)＝50(58＋x)(70－x)≤50×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(58＋x＋70－x,2)))2，当且仅当58＋x＝70－x，即x＝6时，等号成立，故每月租金定为3000＋300＝3300(元)时，公司获得最大利润．故选B.
二、填空题
7．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．
解析当t＝0.5时，y＝2，所以2＝eeq\f(k,2)，所以k＝2ln2，所以y＝e2tln2，当t＝5时，y＝e10ln2＝210＝1024.
答案1024
8