高考数学大一轮复习 9.2两直线的位置关系教师用书 理 苏教版-苏教版高三全册数学试题.doc

§9.2两直线的位置关系

1．两条直线的位置关系
(1)两条直线平行与垂直
①两条直线平行：
(ⅰ)对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
(ⅱ)当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
②两条直线垂直：
(ⅰ)如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.
(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.
(2)两条直线的交点
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．
2．几种距离
(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离P1P2＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).
(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
[知识拓展]
1．一般地，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0；与之垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.
2．过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
3．点到直线与两平行线间的距离的使用条件：
(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．
(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．

【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(×)
(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(×)
(3)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.(√)
(4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为eq\f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)).(×)
(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．(√)
(6)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－eq\f(1,k)，且线段AB的中点在直线l上．(√)

1．已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝________.
答案eq\r(2)－1
解析依题意得eq\f(|a－2＋3|,\r(1＋1))＝1.
解得a＝－1＋eq\r(2)或a＝－1－eq\r(2).
∵a>0，∴a＝－1＋eq\r(2).
2．已知直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8平行，则实数m的值为________．
答案－7
解析l1的斜率为－eq\f(3＋m,4)，纵截距为eq\f(5－3m,4)，
l2的斜率为－eq\f(2,5＋m)，纵截距为eq\f(8,5＋m).
又∵l1∥l2，由－eq\f(3＋m,4)＝－eq\f(2,5＋m)得，m2＋8m＋7＝0，
得m＝－1或－7.
m＝－1时，eq\f(5－3m,4)＝eq\f(8,5＋m)＝2，l1与l2重合，故不符合题意；
m＝－7时，eq\f(5－3m,4)＝eq\f(13,2)≠eq\f(8,5＋m)＝－4，符合题意．
3．已知直线l1与l2：x＋y－1＝0平行，且l1与l2的距离是eq\r(2)，则直线l1的方程为________________．
答案x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0
解析设l1的方程为x＋y＋c＝0，则eq\f(|c＋1|,\r(2))＝eq\r(2).
∴|c＋1|＝2，即c＝1或c＝－3.
∴直线l1的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
4．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.
答案1
解析依题意得2×1－2×m＝0，∴m＝1.

题型一两条直线的平行与垂直
例1已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1⊥l2，且l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
思维点拨本