高考数学大一轮复习 考点规范练65 坐标系与参数方程 理 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题.docx

考点规范练65坐标系与参数方程
考点规范练A册
基础巩固
1.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2cosθ,y=4sinθ(θ为参数),直线l的参数方程为x=1+tcosα,y=2+tsinα(t为参数).
(1)求C和l的普通方程;
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.
解:(1)曲线C的普通方程为x24+y216=1.
当cosα≠0时,l的普通方程为y=tanα·x+2-tanα,
当cosα=0时,l的普通方程为x=1.
(2)将l的参数方程代入C的普通方程,整理得关于t的方程
(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0,①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,
所以①有两个解,设为t1,t2,
则t1+t2=0.
又由①得t1+t2=-4(2cosα+sinα)1+3cos2α,
故2cosα+sinα=0,于是直线l的斜率k=tanα=-2.
2.(2019云南曲靖沾益四中高三三模)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=-1+22t,y=-2+22t(t为参数),以该直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ-ρ=0.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)求直线l被曲线C截得的弦长是多少?
解:(1)将x=-1+22t,y=-2+22t消去参数t,
得直线l的普通方程为x-y-1=0.
∵曲线C的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ-ρ=0,
即ρ2cos2θ+4ρcosθ-ρ2=0,
∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x.
(2)联立y2=4x,x-y-1=0,
得x2-6x+1=0,Δ=36-4=32>0,
设直线l与抛物线C交于点A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=6,x1x2=1,
故直线l被曲线C截得的弦长为|AB|
=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=(1+1)×(36-4)=8.
3.(2019江苏,21B)在极坐标系中,已知两点A3,π4,B2,π2,
直线l的方程为ρsinθ+π4=3.
(1)求A,B两点间的距离;
(2)求点B到直线l的距离.
解:(1)设极点为O.
在△OAB中,A3,π4,B2,π2,
由余弦定理,得
AB=32+(2)2-2×3×2×cosπ2-π4=5.
(2)因为直线l的方程为ρsinθ+π4=3,
则直线l过点32,π2,倾斜角为3π4.
又B2,π2,所以点B到直线l的距离为(32-2)×sin3π4-π2=2.
4.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0.
(1)求C2的直角坐标方程;
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.
解:(1)由x=ρcosθ,y=ρsinθ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.
(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.
由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2,由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.
当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以|-k+2|k2+1=2,故k=-43或k=0.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-43时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.
当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以|k+2|k2+1=2,故k=0或k=43,经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=43时,l2与C2没有公共点.
综上,所求C1的方程为y=-43|x|+2.
5.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=4t2,y=4t(t为参数).在以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线C2的极坐标方程为ρcosθ+π4=22.
(1)把曲线C1的参数方程化为普通方程,C2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)若曲线C1,C2相交于A,B两点,AB的中点为P,过点P作曲线C2的垂线交曲线C1于E,F两点,求|PE|·|PF|的值.
解:(1)消去参数可得C1:y2=4x,
C2:x-y-1=0.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),且AB的中点为P(x0,y0),
联立y2=4x,x-y-1=0可得x2-6x+1=0.
∴x1+x2=6,x1x2=1,∴x0=x1+x22=3,y0=2.
∴AB中垂线的参数