2021高考数学大一轮复习考点规范练65坐标系与参数方程理新人教A版202006100188.docx

6考点规范练65坐标系与参数方程考点规范练A册基础巩固1.在直角坐标系xOy中曲线C的参数方程为x=2cosθy=4sinθ(θ为参数)直线l的参数方程为x=1+tcosαy=2+tsinα(t为参数).(1)求C和l的普通方程;(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(12)求l的斜率.解:(1)曲线C的普通方程为x24+y216=1.当cosα≠0时l的普通方程为y=tanα·x+2-tanα当cosα=0时l的普通方程为x=1.(2)将l的参数方程代入C的普通方程整理得关于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0①因为曲线C截直线l所得线段的中点(12)在C内所以①有两个解设为t1t2则t1+t2=0.又由①得t1+t2=-4(2cosα+sinα)1+3cos2α故2cosα+sinα=0于是直线l的斜率k=tanα=-2.2.(2019云南曲靖沾益四中高三三模)在平面直角坐标系xOy中直线l的参数方程为x=-1+22ty=-2+22t(t为参数)以该直角坐标系的原点为极点x轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ-ρ=0.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)求直线l被曲线C截得的弦长是多少?解:(1)将x=-1+22ty=-2+22t消去参数t得直线l的普通方程为x-y-1=0.∵曲线C的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ-ρ=0即ρ2cos2θ+4ρcosθ-ρ2=0∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x.(2)联立y2=4xx-y-1=0得x2-6x+1=0Δ=36-4=32>0设直线l与抛物线C交于点A(x1y1)B(x2y2)则x1+x2=6x1x2=1故直线l被曲线C截得的弦长为|AB|=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=(1+1)×(36-4)=8.3.(2019江苏21B)在极坐标系中已知两点A3π4B2π2直线l的方程为ρsinθ+π4=3.(1)求AB两点间的距离;(2)求点B到直线l的距离.解:(1)设极点为O.在△OAB中A3π4B2π2由余弦定理得AB=32+(2)2-2×3×2×cosπ2-π4=5.(2)因为直线l的方程为ρsinθ+π4=3则直线l过点32π2倾斜角为3π4.又B2π2所以点B到直线l的距离为(32-2)×sin3π4-π2=2.4.在平面直角坐标系xOy中曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点x轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ-3=0.(1)求C2的直角坐标方程;(2)若C1与C2有且仅有三个公共点求C1的方程.解:(1)由x=ρcosθy=ρsinθ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圆心为A(-10)半径为2的圆.由题设知C1是过点B(02)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1y轴左边的射线为l2由于B在圆C2的外面故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.当l1与C2只有一个公共点时A到l1所在直线的距离为2所以|-k+2|k2+1=2故k=-43或k=0.经检验当k=0时l1与C2没有公共点;当k=-43时l1与C2只有一个公共点l2与C2有两个公共点.当l2与C2只有一个公共点时A到l2所在直线的距离为2所以|k+2|k2+1=2故k=0或k=43经检验当k=0时l1与C2没有公共点;当k=43时l2与C2没有公共点.综上所求C1的方程为y=-43|x|+2.5.在平面直角坐标系xOy中曲线C1的参数方程为x=4t2y=4t(t为参数).在以坐标原点O为极点x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中曲线C2的极坐标方程为ρcosθ+π4=22.(1)把曲线C1的参数方程化为普通方程C2的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)若曲线C1C2相交于AB两点AB的中点为P过点P作曲线C2的垂线交曲线C1于EF两点求|PE|·|PF|的值.解:(1)消去参数可得C1:y2=4xC2:x-y-1=0.(2)设A(x1y1)B(x2y2)且AB的中点为P(x0y0)联立y2=4xx-y-1=0可得x2-6x+1=0.∴x1+x2=6x1x2=1∴x0=x1+x22=3y0=2.∴AB中垂线的参数方程为x=3-22ty=2+22t(t为参数).①y2=4x.②将①代入②中得t2+82t-16=0∴t1·t2=-16.∴|PE|·|PF|=|t1·t2|=16.能力提升6.(2019全国Ⅰ理22)在直角坐标系xOy中曲线C的参数方程为x=1-t21+t2y=4t1+t2(t为参数).以坐标原点O为