高二数学数列求和苏教版（文）知识精讲.doc

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高二数学数列求和苏教版（文）
【本讲教育信息】
一.教学内容：
数列求和

二.本周教学目标：
小结数列求和的常用方法，初步掌握用拆项法、裂项法和错位法求一些特殊的数列

三.本周知识要点：
（一）基本公式：
1.等差数列的前项和公式：
，
2.等比数列的前n项和公式：
当时，①或②
当q＝1时，

（二）数列求和的常用方法：
1.公式法（若问题可转化为等差、等比数列，则直接利用求和公式即可）
例1：求之和
分析：本题运用平方差公式将原数列变形为等差数列，然后用等差数列的求和公式
解：原式＝
＝
＝
其中n＝50，由等差数列求和公式，得：
；
当q＝1时，

2.拆项法(分组求和法)：
若数列的通项公式为，其中中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般用分组结合法

例2：求数列的前n项和。
解：设数列的通项为an，前n项和为Sn，
则

当时，
当时，

3.裂项法：
如果一个数列的每一项都能化为两项之差，并且前一项的减数恰与后一项的被减数相同，求和时中间项相互抵消，这种数列求和的方法就是裂项相消法。
例3：求数列前n项和
解：设数列的通项为bn，则

例4：求数列前n项和
解：

4.错位法：
若数列的通项公式为，其中，中有一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。
例5：求数列前n项和
解：①
②
两式相减：

5.特殊数列求和－－常用数列的前n项和：
例6：设等差数列{an}的前n项和为Sn，且，求数列{an}的前n项和。
解：取n＝1，则
又：可得：

例7：求和Sn＝
分析：由得
,令k＝1、2、3、…、n得
2－1＝3·1＋3·1＋1
3－2＝3·2＋3·2＋1
4－3＝3·3＋3·3＋1
……
（n+1）－n＝3n+3n+1
把以上各式两边分别相加得：
（n+1）－1＝3(1+2+…+n)+3(1+2+3+…+n)+n＝3Sn+n(n+1)+n
因此，Sn＝n(n+1)(2n+1)

【模拟试题】（答题时间：20分钟）
1、求和S＝
2、求和（1）
（2）
3、已知数列的通项，求其前项和。
4、求数列的前n项和。

试题答案
1、解：由原式乘以公比得:
Sn＝
原式与上式相减,由于错位后对应项的分母相同,可以合并,
∴Sn－Sn＝+
即Sn＝3
2、解：（1），
当时，…，
当时，…，…，
两式相减得…，
∴
（2）∵，
∴
3、解：奇数项组成以为首项，公差为12的等差数列，
偶数项组成以为首项，公比为4的等比数列；
当为奇数时，奇数项有项，偶数项有项，
∴，
当为偶数时，奇数项和偶数项分别有项
∴
所以，
4、分析：数列的通项公式为，而数列分别是等差数列、等比数列，求和时一般用分组结合法。
解：因为，所以